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全微分方程积分因子与路径经无关偏导数，则内具有连续的一阶在单连通区域若QdyPdxGyxQyxPL),(),,((*)),(),(),(),(),(00000000),(),(xxyyyyxxyxyxdxyxPdyyxQdyyxQdxyxPQdyPdxyxu或且QdyPdxyxdutsyxuyxuQdyPdx),(..),(,),(即的全微分是某个二元函数LGLQdyPdx0xQyP.)1(),(),(),(,),()1(0),(),(程为全微分方程或恰当方则称方程即的全微分函数的左端恰好是某个二元若一阶方程dyyxQdxyxPyxduyxuudyyxQdxyxP1.定义)(),(,)1(:内有连续的一阶偏导数在、单连通区域，成为全微分方程方程显然GQPGGyxxQyP2.判定方法一、全微分方程~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~!),()1(,0),()1()1(隐函数的通解为故可写成方程是全微分方程若方程Cyxuyxdu3.解法),()1(yxu的解归结为求由以上讨论，求方程式即可求出由上面的复习(*)xxyyyyxxyxyxdxyxPdyyxQdyyxQdxyxPQdyPdxyxu000000),(),(),(),(),(00),(),(或方法1应用曲线积分与路径无关.0)()(2dyyxdxyx解方程),()0,0(2)()),(yxdyyxdxyxyxu（原方程为全微分方程xQyP1cyxyx2323例1解法1yoxdyyxdxx)(022323yxyxyxxdyydxyxxdyydxxydxxdyyxxdyydxyxdyydxydyxdxydxxdy:2222凑全微分记住)(xyd)(2122yxd)(yxd)(xyd)(arctanyxd)(lnyxd)(lnxyd是全微分方程—即但0,0)(122yxdyydxxdyydxy不是全微分方程即方程若)1(,xQyP不是全微分方程例如110xQyPxdyydxcyxyxd0)(即称为积分因子21y)1(0),(),(dyyxQdxyxP对二、积分因子.)1(),(,0),(),(),(),(),(因子的积分为方程则称成为全微分使一个函数时，若当yxyxQyxdxyxPyxyxxQyP可观察出来但在简单情形下得积分因子一般不容易求,定义注0xdyydx解方程xQyPxyyx1),(cyxxxdyydxxyd2)(21),(yyx例2解cyxyxdyydxyxd2)(21),(xyxcyxxyxdyydxyxdln)(ln0)2()2(22dyyxxdxxyy解方程xQyP221),(yxyx0)()(0)22()(:222222dyxdxyxydydyxdxxyxdyydx分项0)ln(ln)1(22yxdxyd例3解cyxxy22ln10)11()()(122222dyydxxxydxy