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函数组的线性相关与无关概念n阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程解的结构降阶法与常数变易法).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn为自由项是系数函数其中：)(,)()(),(21xfxPxPxPn当f(x)≠0时，称为n阶非齐次线性方程当f(x)=0时，称为n阶齐次线性方程的函数系数函数和自由项均是均是一次的关于线性方程的特点xyyyn)2(,',)1(:)(一、n阶线性微分方程的一般形式从本节起我们将讨论高阶线性微分方程及可化为线性微分方程。因为在工程及物理问题中，所遇到的高阶方程很多是线性方程式及可化为线性方程。注在研究过程中以二阶为例，二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf二阶齐次线性微分方程时，当0)(xf二阶非齐次线性微分方程二、函数组的线性相关与无关概念12121122():(),(),,(),0,,,..0,();.nnnnIAyxyxyxkkkstkykykyxIAI在内定义的一组函数若不全为的常数则称在内是线性相关的否者称线性无关定义例1判断下列函数组是否线性相关),(cos,sin,122xxx，，取1,10cossin132122kkkxx是线性相关的),(,,1),(,,,0232xxxxxxx，，取4,3,2,0,1,000001132ikkxxxi，至多只有二个根，02321xkxkk线性相关的线性无关无关两个函数的情形)(),()()(2121xyxykxyxy注1.二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）问题:一定是通解吗？2211yCyCy)1(0)()(yxQyxPy三、二阶线性微分方程解的结构定理2如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解..sincos,tancossin,sincos2121是原方程的通解故线性无关常数又是方程的解观察xcxcyxxxxyxy阶方程的情形。可推广到定理n2)(0"二阶齐次方程yy注例2解解的叠加原理2.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设*y是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.)()(0))(')("())(')("()()'')(()""(******xfxfyxQyxPyYxQYxPYyYQyYxPyY左端代入方程)2(""'','''**yYyyYy证明，得证！非齐次方程2"xyy2sincos:sincos:2,2:221212*xxcxcyxcxcYxy通解得由例观察的通解...