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将定积分概念加以推广到多元函数—重积分积分区域为空间一区域域积分区域为平面上一区),,(),(zyxfuyxfzy=f(x)积分区域为区间重积分与定积分区别在于被积函数中自变量个数与积分区域这就是重积分的概念问题的提出二重积分的概念二重积分的性质１．曲顶柱体的体积一、问题的提出柱体体积=？特点：曲顶.上连续且在顶是曲面轴的柱面而母线平行的边界为准线面是以侧为底的有界闭区域面上以曲顶柱体指DyxfzzDDxoy)0(),(:,,,:oxyzDz=f(x,y)柱体体积=底面积×高特点：平顶.取极限来解此问题求和近似代替分割以平代曲样，类似于曲边梯形面积那解决的方法,,,"":."",:在变高顶是曲的现在的问题在于D),(iiiz=f(x,y)iiiifV),(.),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积oxyz),(iifxyo设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM),(iiiiiiiM),(定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的概念积分区积分区域域如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分积分和和被积函被积函数数积分变积分变量量被积表达被积表达式式面积元面积元素素(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义曲顶柱体体积当Ddyxfyxf),(0),(.),(,,),(柱体体积的代数和若干部分为负在若干部分为正上，当在DdyxfyxfD曲顶柱体体积的负值当Ddyxfyxf),(0),(注DDDdddyxfyxf1),(1),(:时当思考题以D为底面积，高为1的柱体体积D的面积（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质DDDDDdyxgdyxfdyxgyxfdyxfkd...