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斯托克斯公式一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式定理设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdxRdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz便于记忆形式斯托克斯公式的又一种形式其中,coscoscoskjin的单位法向量为kjitcoscoscos的单位切向量为dSyPxQxRzPzQyR]cos)(cos)(cos)[(dsRQP)coscoscos(Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy面的平面闭区域时)例1计算曲线积分ydzxdyzdx,其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.0xyDxyzn111解按斯托克斯公式,有dzyxdyzdxdxdydzdxdydz}1,1,1{31}cos,cos,{cosnxyDd3xyo11xyD23如图xyDdzyxdyzdxdzyxdyzdxdxdydzdxdydzdS331例2计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222其中是平面23zyx截立方体:10x,10y,10z的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向.解取Σ为平面23zyx的上侧被所围成的部分.则}1,1,1{31nzxyon,31coscoscosdxdyyxdzdxzxdydzzyyxxzzyzyxdxdydzdxdydzI)()()(2222222dSzyxI)(34dS2334xyDdxdy332.29)23(zyx上在xyD23yx21yx.21:)()()(22轴方向看是顺时针往负轴方向从正其中：zzzyxyxcdzyxdyzxdxyzc02:sincos22,sin,cosyxzyx令2]sincos3)sin(cos2[)()()(0222ddzyxdyzxdxyzc解法１将曲线c参数化例32)13()23()22()2()()]2([])2[()()()(122dxdydyyxdxyxyxdyxdyyxxdxyyxdzyxdyzxdxyzxoyccyxGreenccc公...