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格林(Green)公式曲线积分与路径无关的定义二元函数的全微分的求积D设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域D一、格林公式1、区域连通性的分类连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD:的正向的边界曲线规定LD2、格林(Green)公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yxABdcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(LDdyyxQdxdyxQ),(LD证明(2)两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ1L2L3L1D2D3Dl1l2l3若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ332211lLlLlLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLD1L2L3L1D2D3Dl1l2l3便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.上有连续的一阶偏导数在的正方向取区域封闭曲线下几点：使用格林公式要注意以D),(),,()3(D)2()1(yxQyxPLL注、格林的简单应用：3计算平面图形的面积。化简二重积分；计算曲线积分；)3()2()1(DDLdyxdxyydxxdyxy)()]([222222的正向闭路是沿圆周计算xyxLydxxdyxyL2:222222,xyPyxQ23cos42222244cos203ddrrd例1解yxPxyQ2223168]sin[sin8sin)sin1(2sin)cos2cos31()]sin(sin)cos1(cossin)cos1[(4...