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高斯(Guass)公式格林公式:平面区域上的二重积分与其边界上的曲线积分之间的关系.高斯公式:空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.牛顿-莱布尼兹公式：区间上的定积分与其两端点上的函数值之间的关系babaxFdxxF)]([)('LDQdyPdxdxdyyPxQ)(一、高斯(Gauss)公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(取外侧)3(具有一阶连续偏导数上在所围成，曲面是由分片光滑的闭有向空间闭区域设),,(),,,(),,,()2()1(zyxRzyxQzyxP高斯公式定理XYZO12xyD.RdxdydvzR先证.)1(的交点恰好是两个的边界曲面与轴的直线内部且平行于设穿过闭z设闭区域在面xoy上的投影区域为xyD.由1,2和3三部分组成,取上侧),(1:1yxzz取下侧),(2:2yxzz.3部分直线为母线的柱面的一轴的的边界为准线，平行是以zDxy123xyDZXYO证明xyDyxzyxzdzzRdxdydvzR),(),(120)()(aRdxdydvzR比较①②得，321Rdxdy①xyDdxdyyxzyxRyxzyxR)]},(,,[)],(,,[{2121②xyxyDxyDxydyxzyxRdyxzyxR)],(,,[)],(,,[21RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(:))()((三项相加即得将cba)()(cQdzdxdvyQbPdydzdvxP.的交点恰好是两个的边界曲面与轴的直线轴及内部且平行于同理，若穿过闭yx,,)2(两个的边界曲面的交点多于坐标轴的直线与内部且平行于即穿过不是简单区域若.,,)1(,)1(,,证得高斯公式消的两个曲面积分正好抵侧注意到沿辅助面相反两且对积分区域可加性性质所得结论及由形中的区域情使得每个区域为个区域分成几把引进几个辅助面方法可按照格林公式证明的.得证综合一、二步高斯公式12123nn312123nn3323132312121)(RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP21有连续偏导数取外侧当闭RQP,,,,Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.注外侧计算czbyaxzyxdzdxydydzxI,,,0,0,0::22...