南京航空航天大学第1页（共6页）二○○九～二○一○学年第一学期《线性代数》考试试题考试日期：2010年1月10日试卷类型：B试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分一（）填空分3284=×1．设四阶的展开式中有一项，它ijDa=行列式23413214aaaa前面应为号。_____并计算四阶行列式＝。1234_____2．设，，当)5421(1−=α)3102(2−=α)521(3a−=α=a_____时,,,线性相关，此时。1α2α3α123()___rααα=3．若均为3阶方阵，且，为的伴随矩阵，则，BA,2=A*AA=22A。=−−*12AA4.设A为三阶方阵，且A=()，其中（i=1,2,3）为三维列向量，若1α2α3αiα，则。又矩阵B＝（＋＋＋），则2−=A____1=−−A1α2α2α3α3α1α。=B_____5.设线性方程组，其中为矩阵，有解的充分必要条件为bAX=Anm×；当时，它的导出组的一个基础解系中必含有=)(ArnsAr<=)(0=AX个解向量。6．设向量，，则。)011(−=α)121(−=β.____)(____,3==βαβαTT7．，=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−41011112121=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛10112000101010000120098．设三阶矩阵的特征值为2，3,。若，则，二次型Aλ6−=A=λ本题分数32得分第2页（共6页）的规范形为。AXXxxxfT=)(321二（）计算题（要求写出计算过程）分2847=×1、求行列式D=的值。213132321321++++++++++++aaaaaaaaaaaaaaaa2、设三阶方阵A、B，满足矩阵等式,其中I为三阶单位阵，为A的伴BIBA−=∗2∗A随矩阵，A＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−100410111化简矩阵等式并求出矩阵B。本题分数28得分第3页（共6页）3．三阶矩阵，的列向量均为齐次线性方程组的解，求：0≠BB⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0342023035321321321xxxxxxaxxx。及Ba4、设，判断能否与一个对角形矩阵相似（说明理由）若能写出对角200121101A⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A形。第4页（共6页）三（15151515分）设线性方程组问时，方程组有解，有⎪⎩⎪⎨⎧+=−−+−=−−+−=−−+10302193475222432143214321axxxxxxxxxxxx?=a解时求出它的通解。本题分数15得分第5页（共6页）四（15151515分）已知三阶矩阵的一个特征值，A属⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=baA111111131=λ于的一个特征向量为，1λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111η（1）求矩阵A中的。ba,（2）求正交矩阵T，使得为对角形，并写出对角形。ATT1−本题分数15得分第6页（共6页）五（5+5=105+5=105+5=105+5=10分）证明题1、设级方阵A满足A2=A，证明：。nA)(AI)n+−=秩(秩2、设A是n阶实对称矩阵，若，证明矩阵A+2I是正交阵。2430AAI++=本题分数10得分
