6 多元函数微分学在几何上的简单应用.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数微分学在几何上的简单应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲线的弧长空间曲面的切平面与法线20078年月南京航空航天大学理学院数学系2一、平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线),(00yx切线方程0yy法线方程0yy若平面光滑曲线方程为),(),(ddyxFyxFxyyx故在点切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000xxyxFx0))((00xxxf)()(100xxxf在点有有因0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0xx20078年月南京航空航天大学理学院数学系3例1求笛卡儿叶形线332()90xyxy0(2,1)P在点处的切线与法线.33(,)2()9.Fxyxyxy解设容易算出00((),())(15,12),xyFPFP于是所求的切线与法线分别为15(2)12(1)0,5460;12(2)15(1)0,45130.xyxyxyxy即即20078年月南京航空航天大学理学院数学系4二、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.TM空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停20078年月南京航空航天大学理学院数学系51.曲线方程为参数方程的情况切线方程000zzyyxx),,(0000zyxMtt对应设),,(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTM:的方程割线MM20078年月南京航空航天大学理学院数学系6))((00xxt此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.)()(00yyt0))((00zzt如个别为0,则理解为分子为0.M不全为0,))(,)(,)((000tttT因此得法平面方程o)(trT20078年月南京航空航天大学理学院数学系7处的切线与法平面方程在点求)1,1,1(:32tztytx)1,1,1(10Mt点0)1(3)1(2)1(:zyx法平面312111:zyx切线}3,2,1{}3,2,1{12tttT例1解20078年月南京航空航天大学理学院数学系8容易求得故切向向量为01,1,22,2P例2求空间曲线:sin,1cos,4sin(2)Lxttytzt在点处的切线和法平面.00(2)Pt对应于000((),(),())xtytzt由此得到切线方程和法平面方程分别为(1,1,2).000(1cos,sin,2cos(2))ttt20078年月南京航空航天大学理学院数学系9(1)(1)2(22)0,:2xyz24.2xyz即22:11;22zxy20078年月南京航空航天大学理学院数学系10注...