4 多元函数的Taylor公式与极值问题-2.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数的Taylor公式与极值问题条件极值Lagrange乘数法应用举例20078年月南京航空航天大学理学院数学系2条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制20078年月南京航空航天大学理学院数学系3一、问题引入很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则2();Szxyxy目标函数:.xyzV约束条件:20078年月南京航空航天大学理学院数学系4曲线求此22,1.zxyxyz1212(,,,),(,,,)R;nnnyfxxxxxxD的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有222;uxyz目标函数:22,1.zxyxyz约束条件:还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.定义设目标函数为约束条件为如下一组方程:20078年月南京航空航天大学理学院数学系512(,,,)0,1,2,,().:knxxxkmmn见,记并设12(,,,),nPxxx{|,()0,1,2,,}.kPPDPkm00()(),(;)(),fPfPPUPP或0,0,P使得若存在0()fP()fP称是在约束条件之下的极小值0P(或最小值),称是相应的极小值点(或最小值点).类似地又可定义条件极大(或最大)值.20078年月南京航空航天大学理学院数学系6条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz20078年月南京航空航天大学理学院数学系7,0),(下在条件yx方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记.),(的极值求函数yxfz0),(yx,)(xy))(,(xxfz例如,故0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有20078年月南京航空航天大学理学院数学系8引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足0xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF20078年月南京航空航天大学理学院数学系9推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyx...