2 多元函数的极限与连续性-2.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数的极限与连续性二重极限累次极限20078年月南京航空航天大学理学院数学系2与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.返回返回返回返回20078年月南京航空航天大学理学院数学系3一、二重极限f2RD0P定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.若0,0,使得当0(;)PUPD时,都有|()|,fPA0lim().PPPDfPAf0PP则称在D上当时以A为极限,记作20078年月南京航空航天大学理学院数学系40lim().PPfPA0P00(,),(,)xyxy当P,分别用坐标表示时,上式也常写作00(,)(,)lim(,).xyxyfxyA例1依定义验证22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy证因为227xxyy22(4)2(1)xxyy简记为20078年月南京航空航天大学理学院数学系5|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2||2||1||3|.xxyyy不妨先限制在点(2,1)的方邻域(,)|2|1,|1|1xyxy内来讨论,于是有|3||14||1|45,yyy|2||(2)(1)5|xyxy|2||1|57.xy20078年月南京航空航天大学理学院数学系62277|2|5|1|xxyyxy7(|2||1|).xy0,min(1,),14取|2|,|1|xy当(,)(2,1)xy且时,就有2277214.xxyy这就证得22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy所以20078年月南京航空航天大学理学院数学系7例2设2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyxyfxyxyxy，证明(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy证(证法一)0,由222222222202xyxyxyxyxyxy20078年月南京航空航天大学理学院数学系8222211(),22xyxy可知222,0,xy当时便有22220,xyxyxy故(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy注意不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy20078年月南京航空航天大学理学院数学系9(,)(0,0)xy(,)(0,0),xy因为的过程只要求即220,xy0.xy而并不要求(证法二)作极坐标变换cos,sin.xryr这时2222|(,)0|xyfxyxyxy2211|sin4|,44rr(,)(0,0)xy0r等价于(对任何).由于因此，220,2,rxy只须对任何20078年月南京航空航天大学理学院数学系10都有2(,)(0,0)1|(...