2 多元函数的极限与连续性-1.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数的极限与连续性多元函数的概念二元函数——n元函数20078年月南京航空航天大学理学院数学系2二元函数※函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.20078年月南京航空航天大学理学院数学系3定义2设平面点集,若按照某对应法则f,2RDD中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射),记作:R.fD也记作(,),(,);zfxyxyD或点函数形式(),.zfPPD20078年月南京航空航天大学理学院数学系4与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称()(,)zfPzfxy或为f在点P的函数值;全体函数值的集合为f的值域,记作.通常把P的坐标x与y称()RfD为f的自变量,而把z称为因变量.当把和它所对应的一起组成(,)xyD(,)zfxy维数组(x,y,z)时,三维点集3(,,)|(,),(,)RSxyzzfxyxyD便是二元函数f的图象,通常该图象是一空间曲面.20078年月南京航空航天大学理学院数学系5例1函数25zxy的图象是R3中的一个平面,其定义域是R2,值域是R.例2的定义域是xOy平面上的221()zxy单位圆域,值域为区间[0,1],22(,)|1xyxy它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分.例3是定义在R2上的函数,它的图象是过zxy原点的双曲抛物面.例4是定义在R2上的函数,值域22zxy是全体非负整数.20078年月南京航空航天大学理学院数学系6xyzO1例2xyzO例3例4xyzOz1z220078年月南京航空航天大学理学院数学系7※若二元函数的值域是有界数集,则称函数()fDf在D上为一有界函数(如例2中的函数).否则,()fDf若是无界数集,则称函数在D上为一无界函数(如例1、3、4中的函数).与一元函数类似地,设2R,D则有{},lim().kkkfDPDfP在上无界使20078年月南京航空航天大学理学院数学系8例5设函数(此函数在以后还有特殊用处)试用等高线法讨论曲面(,)zfxy的形状.(zcc(,),zfxy解用为一系列常数)去截曲面得等高线方程22222222()().xyxycxyxycxyxy或2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xyxyxyfxyxyxy20078年月南京航空航天大学理学院数学系9当0cxOy时,得平面上的四条直线0,0,,.xyyxyx当0c时,由等高线的直角坐标方程难以看出它的形状.若把它化为极坐标方程,即令cos,sin,xryr得到22sin44,4sin4.rcrc或如下一页图所示,为0,1,3,5c所对应的一族等高线.20...