[原创]2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 专题四 函数、不等式中的恒成立问题[配套课件].pptVIP免费

专题四函数、不等式中的恒成立问题纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值关系如下：不等式类型与最值的关系∀x∈D，f(x)＞M∀x∈D，f(x)min＞M∀x∈D，f(x)＜M∀x∈D，f(x)max＜M∃x0∈D，f(x0)＞M∀x∈D，f(x)max＞M∃x0∈D，f(x0)＜M∀x∈D，f(x)min＜M∀x∈D，f(x)＞g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0∀x∈D，f(x)＜g(x)∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0∀x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max不等式类型与最值的关系∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max∃x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min(续表)注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值，那么上述结果可以用函数值域相应的端点值表述.[例1]已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋x[∈－3,3]，k∈R.(1)若对∀x[∈－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)若∃x[∈－3,3]，使得f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；(3)若对∀x1，x2[∈－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取值范围.解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，问题转化为x[∈－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0，x[∈－3,3].令h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得x＝2或x＝－1， h(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k∴h(x)min＝k－45≥0，得k≥45.(2)据题意：∃x[∈－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即为h(x)＝g(x)－f(x)≥0在x[∈－3,3]上能成立，∴h(x)max≥0.∴h(x)max＝k＋7≥0，即k≥－7.(3)据题意：f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]，易得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21，∴120－k≤－21，得k≥141.[例2](2020年押题导航卷)已知函数f(x)＝ex[x2＋(2a－5)x－8a＋5](a∈R).(1)若曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线x－6y＋1＝0直，求实数a的...