高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素养提升微专题(七)求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法第一编2022问题提出直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用弦长公式,但很多同学计算能力不强,导致耗费大量时间求得的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆或双曲线相交的弦长,在求具体的弦长时当公式用,既省时又能提高正确率.结论1直线y=kx+m与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)相交所得的弦长|AB|=ξ1+𝑘2·ට4𝑎2𝑏2(𝑏2+𝑎2𝑘2-𝑚2)𝑏2+𝑎2𝑘2.证明联立൝𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,Δ=4a2b2(b2+a2k2-m2),ە۔ۓ𝑥1+𝑥2=-2𝑎2𝑘𝑚𝑏2+𝑎2𝑘2,𝑥1𝑥2=𝑎2𝑚2-𝑎2𝑏2𝑏2+𝑎2𝑘2,由弦长公式得|AB|=ξ1+𝑘2·ට4𝑎2𝑏2(𝑏2+𝑎2𝑘2-𝑚2)𝑏2+𝑎2𝑘2.结论2直线y=kx+m与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)相交所得的弦长|AB|=ξ1+𝑘2·ට4𝑎2𝑏2(𝑏2-𝑎2𝑘2+𝑚2)𝑏2-𝑎2𝑘2.证明联立൝𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1,得方程(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,Δ=4a2b2(b2-a2k2+m2),ەۖ۔ۖۓ𝑥1+𝑥2=2𝑎2𝑘𝑚𝑏2-𝑎2𝑘2,𝑥1𝑥2=-𝑎2𝑚2-𝑎2𝑏2𝑏2-𝑎2𝑘2,由弦长公式得|AB|=ξ1+𝑘2·ට4𝑎2𝑏2(𝑏2-𝑎2𝑘2+𝑚2)𝑏2-𝑎2𝑘2.说明1.在上述根与系数的关系、判别式Δ及弦长|AB|的表达式中,a2,b2分别表示的是曲线方程中x2,y2项下面的分母.譬如,对于焦点在y轴上的椭圆方程=1,在使用上述结论时,仍然把3当作a2,4当作b2.2.解答解答题时,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够写出直线与椭圆联立整理后的方程式,判别式Δ的表达式及根与系数的关系,那么就可用上述弦长公式,就能极大地提高运算的准确性.𝑥23+𝑦24[例1](2021·浙江宁波期末)已知椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),过右焦点F且倾斜角为π4的直线与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交直线x=𝑎2𝑐和AB分别于点P和M,若3|AB|=4|PM|,则椭圆C的离心率为()A.3ඥ25B.2ඥ23C.ඥ63D.ඥ22答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的方程为y=x-c.由൝𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,𝑦=𝑥-𝑐,得ሺ𝑏2+𝑎2ሻx2-2a2cx+a2c2-a2b2=0,x1+x2=2𝑎2𝑐𝑏2+𝑎2,x1x2=𝑎2𝑐2-𝑎2𝑏2𝑏2+𝑎2,|AB|=ξ1+12×ට4𝑎2𝑏2(𝑏2+𝑎2-𝑐2)𝑏2+𝑎2=4𝑎𝑏2𝑏2+𝑎2.由xM=𝑥1+𝑥22=𝑎2𝑐𝑏2+𝑎2,xP=𝑎2𝑐,得|PM|=ට1+(-1)2·|xM-xP|=2ξ2𝑎2𝑏2(𝑏2+𝑎2)𝑐.由3|AB|=4|PM|,得3×4𝑎𝑏2𝑏2+𝑎2=4×2ξ2𝑎2𝑏2(𝑏2+𝑎2)𝑐,化简可得𝑐𝑎=2ξ23.[例2]已知中心在原点的...
