高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时习题课基本不等式的应用第一章2021课堂篇探究学习探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.(1)y=x+12𝑥(x<0);(2)y=1𝑥-3+x(x>3);(3)y=x(1-3x)(03),即x=4时,y取最小值5.(3)y=x(1-3x)=13×3x(1-3x)≤13×[3𝑥+(1-3𝑥)2]2=112,当且仅当3x=1-3x,即x=16时,y取最大值112.反思感悟利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习).变式训练1已知x≥52,则𝑥2-4𝑥+52𝑥-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析(方法一) x≥52,∴x-2>0,则𝑥2-4𝑥+52𝑥-4=12[(x-2)+1(𝑥-2)]≥1,当且仅当x-2=1𝑥-2,即x=3时,等号成立,此时取得最小值1.(方法二)令2x-4=t, x≥52,∴t≥1.∴x=𝑡2+2.原式可化为(𝑡2+2)2-4(𝑡2+2)+5𝑡=𝑡24+1𝑡=𝑡4+1𝑡≥2ට𝑡4·1𝑡=1,当且仅当𝑡4=1𝑡,即t=2,x=3时,等号成立,此时取得最小值1.答案D2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值例2已知正数a,b满足a+b=1,则1𝑎+1𝑏的最小值为.分析由式子乘1值不变的特性,得1𝑎+1𝑏=(a+b)(1𝑎+1𝑏),展开后再利用基本不等式求最小值.解析 正数a,b满足a+b=1,∴1𝑎+1𝑏=(a+b)(1𝑎+1𝑏)=2+𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2+2ට𝑎𝑏×𝑏𝑎=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴1𝑎+1𝑏的最小值为4.答案4要点笔记在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止.延伸探究将本例反过来,已知正数a,b满足1𝑎+1𝑏=4,则a+b的最小值为.解析 a+b=(a+b)(14𝑎+14𝑏)=12+(𝑎4𝑏+𝑏4𝑎)≥12+2ට𝑎4𝑏·𝑏4𝑎=12+12=1,当且仅当𝑎4𝑏=𝑏4𝑎,即a=b=12时,等号成立,所以a+b的最小值为1.答案13.含有多个变量的条件的最值问题例3已知正数a,b满足1𝑎+1𝑏=3,求ab的取值范围.分析先将1𝑎+1𝑏=3变形为a+b=3ab,再运用基本不等式,将ab进行转化,根据需要求得ab的取值范围.解由1𝑎+1𝑏=3,得a+b=3a...
