高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等差数列的性质及应用第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.(逻辑推理)2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.(数学运算)思维脉络等差数列的性质及应用൞等差数列的性质性质的应用利用等差数列解决实际问题课前篇自主预习激趣诱思《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位)知识梳理一、等差数列与一次函数的关系类型等差数列一次函数解析式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)突出了首项、公差、项数的特征f(x)=kx+b(k≠0)不同点①定义域为N+.②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.①定义域为R.②图象是一条直线.类型等差数列一次函数相同点①当d≠0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式.②等差数列中的a1,d,n,an四个量中知三求一和一次函数中求k,b的方法都是解方程(组).利用一次函数判断等差数列的方法若一个数列的通项公式的等号右边是关于n的一次式,则此数列一定是等差数列且n的系数为公差d.特别提醒对于等差数列an=a1+(n-1)d:当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.微练习若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为()A.p+qB.0C.-(p+q)D.p+q2答案B解析设图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=kx+b,则所以图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=-x+(p+q),由等差数列和一次函数的关系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.൜q=kp+b,p=kq+b⇒൜k=-1,b=p+q,二、等差数列的常用性质性质1通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).当m=1时,该公式就变为了等差数列的常用形式性质2若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an.性质3若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.性质4若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列.性质若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组性质6若ap=q,aq=p,则ap+q=0.性质7有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相...
