0928高一【数学(人教B版)】均值不等式及其应用(2)-课件.pptxVIP免费

均值不等式及其应用（2）高一年级数学主讲人安东明北京市第四中学北京市中小学空中课堂如果,ab都是正数，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立．等与不等的问题就要设及到最大、最小值的问题，均值不等式可以解决变化中的最值问题，也可以把均值不等式及推论作为基础，证明其他不等式的成立．1．最值问题例1．已知矩形的面积为100，求这个矩形周长的最小值．解：设矩形的长、宽为,xy（,0xy），由题知：100xy，周长2lxy，根据均值不等式有2xyxy220xyxy，则240lxy，当且仅当10xy时，等号成立，即当矩形长、宽均为10时，矩形的周长最小，最小值为40．解：设矩形的长、宽为,xy（,0xy），由题知：236xy18xy，面积Sxy，例2．已知矩形的周长为36，求这个矩形面积的最大值．根据均值不等式有2xyxy，则22188122xyxy，当且仅当9xy时，等号成立，即当矩形长、宽均为9时，矩形的面积最大，最大值为81．由此可得：两个正数的积是常数时，它们的和有最小值，即2xyxy；两个正数的和是常数时，它们的积有最大值，即22xyxy．利用均值不等式求最值时，注意：（1）正数——两个正数，（2）常数——和（积）是常数，（3）等号——等号成立的条件必须存在.例3．已知1,3x，求函数13yxx的最大值．解： 1,3x，∴10x，30x，且134xx，则根据均值不等式有2131342xxxx，当且仅当13xx，即1x时，等号成立，∴当1x时，max4y．2．证明问题例4．已知：xR，求证：221222xx．证明：令22tx，则0t，则22112+2xttx，由均值不等式得，1212tt，当且仅当1tt，即1t时，等号成立．因为221tx无实数根，所以均值不等式的等号不成立，所以12tt，即221222xx．例5．已知：,,abcR，求证：222abcabbcca．证明：根据均值不等式的推论有222abab，当且仅当ab时，等号成立，同理可得，222bcbc，当且仅当bc时，等号成立，222caca，当且仅当ca时，等号成立，所以，2222222abcabbcca，即222abcabbcca．如果,ab都是正数，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立．对于利用均值不等式解决具体问题时，需要注意：字母的范围、不等号的方向、等号成立...