高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课2数列的求和问题第一章2021课堂篇探究学习探究一分组法求和例1已知正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公比为q(q>0),则൜𝑎1+𝑎1·𝑞=6,𝑎1·𝑞2+𝑎1·𝑞3=24,解得൜𝑎1=2,𝑞=2,∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.(2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn,则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2×(2𝑛-1)2-1+𝑛(1+𝑛)2=2n+1-2+12n2+12n.反思感悟1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和.ቊ𝑎𝑛,𝑛为奇数,𝑏𝑛,𝑛为偶数,变式训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1an,求数列{bn}的前2n项和T2n.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)可得bn=(-1)n-1×(2n-1),∴T2n=(1-3)+(5-7)+…+[(4n-3)-(4n-1)]=(-2)·n=-2n.探究二裂项相消法求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an>0,设bn=log2(3an+3),求数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前n项和.解(1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn,因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,易知q≠1,所以T2=(𝑎1+1)(1-𝑞2)1-𝑞=4,①T4=(𝑎1+1)(1-𝑞4)1-𝑞=20,②由②①得1+q2=5,解得q=±2.当q=2时,a1=13,所以an+1=43×2n-1=2𝑛+13;当q=-2时,a1=-5,所以an+1=(-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1.所以an=2𝑛+13-1或an=-(-2)n+1-1.(2)因为an>0,所以an=2𝑛+13-1,所以bn=log2(3an+3)=n+1,所以1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=1(𝑛+1)(𝑛+2)=1𝑛+1−1𝑛+2,所以数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前n项和为(12−13)+(13−14)+…+(1𝑛+1−1𝑛+2)=12−1𝑛+2=𝑛2(𝑛+2).反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的拆项公式:①1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1;②1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=12(12𝑛-1−12𝑛+1);③1ξ𝑛+ξ𝑛+1=ξ𝑛+1−ξ𝑛.变式训练2设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求an;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.1𝑆𝑛解(1)设数列{an}的公差为d,由题意得൜3𝑎1+3𝑑=...
