第三章　4.3　第2课时　空间中的距离问题.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第三章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?,知识点拨,一、点到平面的距离点P到平面的距离,等于点P与平面内任意一点A连线所得向量,在平面的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=|n0|.,名师点析1.如果一条直线l与一个平面平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面的距离求解.2.两个平行平面之间的距离如果两个平面,互相平行,在其中一个平面内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面的距离求解.,微练习在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为.,二、点到直线的距离若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为,微练习已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为.,解析 如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则,课堂篇 探究学习,例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求点B到直线A1C1的距离.,解 以B为坐标原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量,反思感悟 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.,延伸探究1例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.,延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B到A1C1的距离.,解 以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,例2在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.,分析借助平面SAC平面ABC的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN的法向量,再求距离.,解 取AC的中点O,连接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC.又BO平面ABC,SOBO.如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,反思感悟 求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.,变式训练在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.,(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.,(2)解 因为B1C平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图建立空间直角坐标系,转化与化归思想在求空间距离中的应用典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD;(2)求证:平面EGF平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.,分析根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.,(1)证明如图所示,以B为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则,所以B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,所以B1D平面ABD.,所以GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,所以平面EGF平面ABD.,方法总结 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.,1.两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(),答案 B,2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(),答案 D,解析 分别以PA,PB,PC所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则,3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是(),答案 B,4.RtABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是.,答案 3,解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.,解析 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.,令x=1,则y=z=1,n=(1,1,1).,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,