第二章　2.2　双曲线的简单几何性质.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样造型美观,结构稳定,强度高,能够获得更大的容积;气流顺畅,对流冷却效果好.建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径,如何确定这些数据?,知识点拨,双曲线的几何性质,名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为=(0),当0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当0时,对应的双曲线焦点在y轴上.,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=x,离心率等于,微练习1,答案 D,微练习2 已知双曲线的方程为9x2-y2=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.,微拓展,2.共轭双曲线(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线.(2)共轭双曲线的性质:有相同的渐近线;有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.,课堂篇 探究学习,例1求双曲线9y2-4x2=-36的x,y的取值范围、顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.,延伸探究求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.,变式训练1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.,反思感悟(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧,渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0).渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=(0).,变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程:,(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时,1.求双曲线的离心率或取值范围,分析利用双曲线和圆的性质,结合已知条件得到关于a,c的方程,进而求得双曲线的离心率.,答案 A,解析 如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,反思感悟 求双曲线离心率及范围的常见方法1.求双曲线离心率的常见方法:,(3)若得到的是关于a,c的齐次方程,则方程两边同除以a的最高次幂,转化为关于e的方程求解.,2.求离心率范围的技巧:(1)根据条件建立a,b,c的不等式,类似于求离心率的方法转化求解;,答案 A,解析 依题意可得a=1,A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则由|PB|=2|PA|,2.双曲线的渐近线与离心率的综合,答案 D,反思感悟 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助 进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.,变式训练4已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于,则其渐近线方程为.,解 设点D的坐标为(,0),则点A,D是双曲线的焦点.如图,连接MD,BD,由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2,|MA|=2+|MD|.|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|2+|BD|.,反思感悟 利用双曲线的定义对|MA|+|MB|进行转化,注意最小值一般在三点共线时取得.,答案(1)A(2)9,故选A.(2)设双曲线的右焦点是F1,由双曲线的定义,得|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+4|AF1|+4=5+4=9,故最小值为9.,存在性问题需验证典例已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.,反思感悟(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求的直线方程的存在性进行验证.(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养一丝不苟、严谨求实的科学素养.,变式训练求经过点 且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.,解 若直线的斜率存在,设为k,当k=2时,方程变为一次方程,且有唯一解,因而直线和双曲线仅有一个公共点,故得到直线方程为y=2x+1.当k=-2时,同理可得直线方程为y=-2x+3.,1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(),答案 B,2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.4 B.-4,答案 C,解析 由双曲线方程mx2+y2=1,知m0,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是()A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8D.y2-x2=4,答案 A,解析 令y=0,得x=-4,等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),答案 6,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,