高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI2.2双曲线的简单几何性质第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质.(数学抽象)2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样造型美观,结构稳定,强度高,能够获得更大的容积;气流顺畅,对流冷却效果好.建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径,如何确定这些数据?知识点拨双曲线的几何性质标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性质顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,实轴长:2a;虚轴:线段B1B2,虚轴长:2b;实半轴长:a,虚半轴长:b离心率e=∈(1,+∞)渐近线名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.x2a2−y2b23.因为e=ca=ටa2+b2a2=ට1+ቀbaቁ2,所以ba=ටe2-1,所以离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率等于ξ2微练习1已知中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()A.y=±54xB.y=±45xC.y=±43xD.y=±34x答案D解析依题意可设y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),得e=ca=53.设a=3k,c=5k(k∈R,且k>0),则b2=c2-a2=25k2-9k2=16k2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±34x.微练习2已知双曲线的方程为9x2-y2=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、...
