1．4．2用空间向量研究距离、夹角问题[新课程标准]1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题．2．能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．3．在运用空间向量研究距离、夹角问题的过程中达成直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．第一课时用空间向量研究距离问题分类图示向量求法点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP―→＝a，AP―→在直线l上的投影向量为AQ―→＝(a·u)u，则PQ＝|AP―→|2－|AQ―→|2＝a2－a·u2点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP―→在直线l上的投影向量为AQ―→，则P点到平面α的距离PQ＝AP―→·n|n|＝AP·n|n|＝|AP―→·n||n|(一)教材梳理填空空间距离的向量求法(二)基本知能小试1．判断正误(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB―→的长度．()(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()答案：(1)×(2)√(3)√2．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为()A．102B．5C．3102D．35答案：C3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．答案：5题型一点到直线的距离[学透用活][典例1]已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．[解]以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为A1C1―→＝(－4,3,0)，而BC1―→＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d＝BC1―→2－BC1―→·A1C1―→|A1C1―→|2＝10－952＝135.[方法技巧]用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的单位方向向量；(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量；(4)代入点线距公式求距离．[对点练清]在长方体OABCO1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，∴AO1―→＝(－2,0,2)，AC―→＝(－2,3,0)，∴AC―→对应的单位向量为－213，313，0，∴O1到直...
