高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI3.2复数的四则运算第3章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握复数的四则运算.(数学运算)2.理解复数四则运算的运算律.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,c∈R时,必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢?【知识点拨】知识点一:复数的加减法1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则有:交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).微练习(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=.(2)(5-5i)-3i=.答案(1)1+2i(2)5-8i解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.知识点二:复数的乘法与乘方1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有交换律z1·z2=z2·z1结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z33.复数乘方的运算律复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.在复数集中,实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立,即对任何复数z,z1,z2及正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=规定i0=1.要点笔记1.复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.𝑧1𝑛·𝑧2𝑛.微思考in(n∈N+)有什么规律?提示i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in(n∈N+)是以4为周期的.微练习(1)(4-i)(3+2i)=.(2)(-3+2i)2=.答案(1)14+5i(2)5-12i解析(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.知识点三:复数的除法对任意两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),有𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i.微练习i是虚数单位,则5-i1+i的值为.答案2-3i解析5-i1+i=(5-i)(1-i)2=4-6i2=2-3i.知识点四:复数范围内一元二次方程的解法1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,方程在C中有两个不同的根2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设...
