高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第二章2021内容索引0102知识网络系统构建题型突破深化提升知识网络系统构建题型突破深化提升专题一几种特殊函数模型的应用1.一元二次函数例1已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5].(1)求a,b的值;(2)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.解(1) f(x)=a(x-1)2+2+b-a,且a>0,∴函数f(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=1.∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.∴൜𝑓(2)=2,𝑓(3)=5,即൜2+𝑏=2,3𝑎+2+𝑏=5,解得ቄ𝑎=1,𝑏=0.(2)由(1)知a=1,b=0,∴f(x)=x2-2x+2.∴g(x)=x2-(m+3)x+2.∴函数g(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=𝑚+32.①若g(x)在[2,4]上单调递增,则𝑚+32≤2,解得m≤1;②若g(x)在[2,4]上单调递减,则𝑚+32≥4,解得m≥5.故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞).方法技巧解决一元二次函数在某区间上的单调性、值域、最值问题,关键是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论,一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解.变式训练1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.(1)当a=1时,f(-1)=;(2)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是.解析(1)已知a=1,∴当x>0时,f(x)=x2-2x+3. 函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.(2)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0.又当x>0时,f(x)图象的对称轴为直线x=a,∴若f(x)的值域为R,则必须满足൜𝑎>0,𝛥=4𝑎2-4(𝑎+2)≥0或൜𝑎≤0,𝑎+2≤0,∴a≥2或a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).答案(1)-2(2)(-∞,-2]∪[2,+∞)2.分段函数例2已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x)>f(2x)的x的取值范围是.分析解决有关分段函数的不等式问题的一般方法是根据自变量所在范围及与之对应的函数,化成不含“f”的不等式求解,此时一般需分多种情况进行讨论.若给定的分段函数具有一定的单调性,则可利用单调性去掉符号“f”,运用这种方法求解往往比较简便.൜𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥<0,解析画出函数f(x)=൜𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥<0的图象如图所示.由f(1-x)>f(2x),可得൜1-𝑥≥0,2𝑥<0或൜1-𝑥>2𝑥,2𝑥≥0,解得x<0或0≤x<13.故所求x的取值范围是ቀ-∞,13ቁ.答案ቀ-∞,13ቁ变式训练2已知函数f(x)=且f(x)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.ቐ-𝑥2+2𝑥,𝑥>0,0,𝑥=0,𝑥2+𝑚𝑥,𝑥<0,解(1)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2...
