高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第3章2021内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建专题归纳思维深化专题一分段函数的应用例1已知f(x)=൜𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥<0,则满足不等式f(1-x)>f(x)的x的取值范围是.答案ቀ-∞,12ቁ解析方法1(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:当1-x≥0,且x≥0,即0≤x≤1时,由f(1-x)>f(x),得(1-x)2>x2,解得x<12,所以0≤x<12;当1-x≥0,且x<0,即x<0时,由f(1-x)>f(x),得(1-x)2+1>1,解得x≠1,又x<0,所以x<0;当1-x<0,且x<0,此时x不存在,不满足要求;当1-x<0,且x≥0,即x>1时,由f(1-x)>f(x),得1>x2+1,此时不成立.综上可知,所求x的取值范围是ቀ-∞,12ቁ.方法2(数形结合法)画出函数f(x)=൜𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥<0的图象,如图所示,由图象可知,若f(1-x)>f(x),则ቊ1-𝑥>0,1-𝑥>𝑥,解得x<12,即满足要求的x的取值范围是ቀ-∞,12ቁ.方法技巧函数的图象与函数值间具有密切的关系,在函数图象上方的函数值大于下方所有函数图象对应的函数值,故可以根据函数图象的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图象可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.变式训练1已知f(x)=ቐ𝑓(𝑥+1),-2<𝑥<0,2𝑥+1,0≤𝑥<2,𝑥2-1,𝑥≥2,若f(a)=4,且a>0,则实数a的值是()A.32B.ξ5C.32或ξ5D.52或ξ5答案C解析已知f(x)=ቐ𝑓(𝑥+1),-2<𝑥<0,2𝑥+1,0≤𝑥<2,𝑥2-1,𝑥≥2,f(a)=4,且a>0,当0
x1>-1,则f(x1)-f(x2)=2𝑥1+1𝑥1+1−2𝑥2+1𝑥2+1=𝑥1-𝑥2(𝑥1+1)(𝑥2+1). x2>x1>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,且x1-x2<0,故𝑥1-𝑥2(𝑥1+1)(𝑥2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)f(1)的实数x的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案...
