高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第2章2021内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建专题归纳思维深化专题一一元二次方程的根及其根与系数的关系例1已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.(2)求使𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥1-2的值为整数的实数k的整数值.解(1)不存在.理由如下,假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立. 一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根,∴൜4𝑘≠0,Δ=(-4𝑘)2-4×4𝑘(𝑘+1)=-16𝑘≥0,解得k<0.又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,∴ቊ𝑥1+𝑥2=1,𝑥1𝑥2=𝑘+14𝑘.∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(𝑥12+𝑥22)-5x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2=-𝑘+94𝑘=-32.∴k=95.又k<0,∴不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立.(2) 𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥1-2=𝑥12+𝑥22𝑥1𝑥2-2=(𝑥1+𝑥2)2𝑥1𝑥2-4=4𝑘𝑘+1-4=-4𝑘+1,∴要使其值是整数,只需k+1能被4整除,即k+1=±1,±2,±4.又k<0,∴使𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥1-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.方法技巧一元二次方程的根及其根与系数的关系,虽在高考中不直接考查,但它是解决某些数学问题的基础,常在解题过程中用到.变式训练1已知关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0.(1)求证:方程有两个实数根.(2)当k为何值时,此方程的两个实数根互为相反数?(3)我们定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1,x2(x1>x2),满足2<<3,则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0“”有两个梦想根,求k的取值范围.𝑥1𝑥2(1)证明 关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0,a=k,b=-(k-1),c=-1,Δ=b2-4ac=[-(k-1)]2-4k×(-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0,∴关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有两个实数根.(2)解设两实根分别为x1,x2,由根与系数的关系知x1+x2=𝑘-1𝑘,由题意知x1+x2=0,∴k=1.(3)解当k>0时,x1=1,x2=-1𝑘<0,不符合题意;当-1≤k<0时,x1=-1𝑘,x2=1,2<𝑥1𝑥2<3,得ቐ-1𝑘>2,-1𝑘<3,解得-120).(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.分析(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时...
