11.2　正弦定理.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第11章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.掌握正弦定理及其变形.(数学抽象)2.借助向量的运算,探索正弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能用正弦定理解决简单的实际问题.(数学运算),课标阐释,课标阐释,课前篇 自主预习,【激趣诱思】从金字塔的建造到尼罗河两岸土地的丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离、确定待建隧道的长度、确定卫星的角度与高度等问题,都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系.通常我们是通过正弦定理与余弦定理来研究三角形中的边角关系的,这一节我们来学习正弦定理.,【知识梳理】,一、正弦定理1.,名师点析 正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.,微练习,答案(1)4(2)45,二、正弦定理的变形正弦定理的变形(R为ABC外接圆的半径)(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(边化角)(3)abc=sin Asin Bsin C.易错点,切不要以为a=sin A,b=sin B,c=sin C,答案 AD,三、三角形的面积公式,名师点析 三角形面积公式的其他形式,微练习(1)在ABC中,若AB=3,BC=4,B=120,则ABC的面积等于.(2)在ABC中,若a=2,b=8,SABC=4,则C=.(3)在ABC中,已知A=75,C=45,b=4,求ABC的面积.,课堂篇 探究学习,例1在ABC中,已知B=30,C=105,b=4,解三角形.分析由三角形的内角和定理可求A的度数.根据正弦定理可求a,c.,反思感悟 已知两角及一边解三角形的解题方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.,分析先利用正弦定理求角B,再根据三角形的内角和定理求角C,最后利用正弦定理求边c.,反思感悟 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则就能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.,延伸探究 本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120”,解三角形.,例3在ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断ABC的形状.分析,解 方法一(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,由正弦定理、余弦定理,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a2+b2-c2=0或a2=b2.a2+b2=c2或a=b.故ABC为直角三角形或等腰三角形.,方法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A,即sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.sin C0,sin Bcos B=sin Acos A.sin 2B=sin 2A.2B=2A或2B+2A=,即A=B或A+B=.ABC是等腰三角形或直角三角形.,反思感悟 三角形形状的判断方法判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正、余弦定理判断三角形形状的方法如下:(1)化边为角,走“三角变形”之路,常用的转化方式有:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC外接圆的半径).(2)化角为边,走“代数变形”之路,常用的转化方式有:,延伸探究 本例中,将条件改为“在ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A”,判断ABC的形状.解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,因为sin A0,所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,所以2B=2C或2B+2C=,即B=C或B+C=,故ABC是等腰三角形或直角三角形.,例4计算下列各三角形的面积.(1)在ABC中,a=5,c=3,B=150;(2)在ABC中,a=8,b=8,A=30;(3)在ABC中,a=2,b=3,c=4.,反思感悟 三角形面积的求解思路求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用 求解面积.,对三角形解的个数的探究已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知a,b和A解三角形为例予以说明:,典例 下列对三角形解的个数的判断中正确的是()A.a=7,b=14,A=30,有两解B.a=30,b=25,A=150,有一解C.a=6,b=9,A=45,有两解D.a=,b=2,A=30,无解,答案 B,答案 B,答案 C,答案 C,答案 75或15,答案 2,6.在ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断ABC的形状.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,