高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.4*数学归纳法第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)数学归纳法൞用数学归纳法证明等式归纳—猜想—证明用数学归纳法证明不等式课前篇自主预习【激趣诱思】摸出粉笔的颜色问题:从一个盒子里摸出第一个粉笔是白色的,第二个也是白色的,第三个、第四个都是白色的,此时能判断盒子里的粉笔都是白色的吗?如果我们要想知道盒子里是不是都是白色粉笔,怎么办呢?如果盒子里粉笔的个数是无限个的话,能判断盒子里粉笔的颜色都是白的吗?当事例(正整数n)有限时,我们可以一一验证来判断命题的正确性,如果当事例(正整数n)是无限时,如何证明与正整数n有关的数学命题的正确性呢?【知识梳理】数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.课堂篇探究学习探究一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为.(2)用数学归纳法证明:121×3+223×5+…+𝑛2(2𝑛-1)(2𝑛+1)=𝑛(𝑛+1)2(2𝑛+1)(n∈N*).答案(1)2(2k+1)解析令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),所以𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=(2𝑘+1)(2𝑘+2)𝑘+1=2(2k+1).(2)证明①当n=1时,121×3=1×22×3成立.②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有121×3+223×5+…+𝑘2(2𝑘-1)(2𝑘+1)=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1),则当n=k+1时,121×3+223×5+…+𝑘2(2𝑘-1)(2𝑘+1)+(𝑘+1)2(2𝑘+1)(2𝑘+3)=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1)+(𝑘+1)2(2𝑘+1)(2𝑘+3)=(𝑘+1)(𝑘+2)2(2𝑘+3),即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立.反思感悟用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要...
