高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI2.2基本不等式第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解基本不等式a>0,b>0).(数学抽象)2.能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(数学运算)3.能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小.(逻辑推理、数学运算)ξab≤a+b2课前篇自主预习[激趣诱思]某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?𝑎+𝑏2[知识点拨]知识点一:基本不等式我们称不等式为基本不等式,其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立.名师点析1.基本不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同ξab≤a+b2不等式a2+b2≥2ab适用范围a,b∈Ra>0,b>0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数“=”成立的条件a=ba=b2.基本不等式的变形第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.基本不等式有多种变形,应用时具有很大的灵活性,既可直接应用又可变形应用.一般地,遇到和与积,平方和与积,平方和与和的平方等不等式问题时,常利用基本不等式处理.(1)ab≤ቀa+b2ቁ2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立;(2)ba+ab≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.微思考(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式?提示得到a+b≥2.(2)我们称为a,b的几何平均数,称为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?提示基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ξ𝑎𝑏ξ𝑎,ξ𝑏ξ𝑎𝑏𝑎+𝑏2(3)当a>0,b>0时,由a2+b2≥2ab你能得到哪些变形式?提示将不等式的两边分别同时除以a并且移项后可以得到a≥2b-𝑏2𝑎,同理将不等式的两边分别同时除以b并且移项后可以得到b≥2a-𝑎2𝑏,将上述两式左右两边分别相加后可得𝑏2𝑎+𝑎2𝑏≥a+b(当且仅当a=b时,等号成立).知识点二:利用基本不等式求最值基本不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值14S2.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2ξ𝑃.名师点...
