高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第三章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一求函数的值域例1求下列函数的值域:(1)y=5𝑥-14𝑥+2;(2)y=2𝑥2-4𝑥+5𝑥-1;(3)y=2𝑥2+4𝑥-7𝑥2+2𝑥+3;(4)y=2x-ට𝑥-1.解(1)y=5𝑥-14𝑥+2=54(4𝑥+2)-1-524𝑥+2=54(4𝑥+2)-724𝑥+2=54−72(4𝑥+2). 72(4𝑥+2)≠0,∴y≠54.所以函数的值域为ቄ𝑦∈Rቚ𝑦≠54ቅ.(2)由x-1≠0得x≠1,设t=x-1,则t≠0,则x=t+1,即函数等价为y=2(𝑡+1)2-4(𝑡+1)+5𝑡=2𝑡2+3𝑡=2t+3𝑡,当t>0时,y=2t+3𝑡≥2ට2𝑡·3𝑡=2ξ6,当且仅当2t=3𝑡,即t=ට32时,等号成立;当t<0时,y=2t+3𝑡≤-2ට(-2𝑡)·-3𝑡≤-2ξ6,当且仅当-2t=-3𝑡,即t=-ට32时,等号成立.综上可知y≥2ξ6或y≤-2ξ6,即函数的值域为(-∞,-2ξ6]∪[2ξ6,+∞).(3)已知函数式可变形为:yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程. x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0.解得-92≤y<2.当y=2时,3×2+7≠0,∴y≠2.∴函数的值域为[-92,2).(4)令ξ𝑥-1=t,则t≥0,x=t2+1.∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-14)2+158. t≥0,∴y≥158.∴函数y=2x-ξ𝑥-1的值域是[158,+∞).方法技巧求函数值域的方法(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域)求值域;(2)形如y=ax+b±ξ𝑐𝑥+𝑑的函数,可用换元法,即设t=ξ𝑐𝑥+𝑑,转化成二次函数再求值域(注意t≥0);(3)形如y=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑(c≠0)的函数可借助反比例函数,求其值域,这类函数的值域为ቄ𝑦ቚ𝑦≠𝑎𝑐ቅ.(4)基本不等式法:若函数解析式直接或变形能满足基本不等式的条件,可利用基本不等式求最值.变式训练1求下列函数的值域:(1)y=ξ𝑥-2;(2)y=𝑥2-𝑥𝑥2-𝑥+1;(3)y=x+ට2-𝑥;(4)y=𝑥2-4𝑥+32𝑥2-𝑥-1.解(1)y=ξ𝑥-2≥-2,即函数的值域为[-2,+∞).(2) x2-x+1=(x-12)2+34≥34,∴0<1𝑥2-𝑥+1≤43,∴y=𝑥2-𝑥𝑥2-𝑥+1=𝑥2-𝑥+1-1𝑥2-𝑥+1=1-1𝑥2-𝑥+1,故函数y=𝑥2-𝑥𝑥2-𝑥+1的值域为[-13,1).(3)令ට2-𝑥=t,则t≥0.∴x=2-t2,∴y=2-t2+t=-(t-12)2+94≤94.故函数的值域为(-∞,94].(4) y=𝑥2-4𝑥+32𝑥2-𝑥-1=(𝑥-1)(𝑥-3)(𝑥-1)(2𝑥+1)=𝑥-32𝑥+1(x≠1,x≠-12),又𝑥-32𝑥+1=12(2𝑥+1)-722𝑥+1=12−72(2𝑥+1),且72(2𝑥+1)≠0,∴𝑥-32𝑥+1≠12.当x=1时,y=1-32×1+1=-23.∴函数的值域为ቄ𝑦∈Rቚ𝑦≠12,且𝑦≠-23ቅ.专题二利用函数单调性求函数的最值例2设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)...
