高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第三章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一与圆锥曲线有关的轨迹问题例1已知两同心圆的半径分别为5和4,AB为小圆的直径,求以大圆的切线为准线且过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹方程.解以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(图略).设大圆的切线为l,抛物线的焦点为F,显然l不与直线AB垂直.过点A,B,O分别作l的垂线,垂足分别为点A1,B1,O1,图略,由抛物线的定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.又由梯形中位线定理得|AA1|+|BB1|=2|OO1|,∴|AF|+|BF|=2|OO1|=10.∴点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为10的椭圆(不包括左、右顶点).设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,由2a=10,2c=8,得a=5,c=4,b=3,∴抛物线焦点的轨迹方程为𝑥225+𝑦29=1(不包括左、右顶点).∴其轨迹必须除去(±5,0)两点,即y≠0.∴所求轨迹方程为𝑥225+𝑦29=1(y≠0).方法技巧解动点轨迹问题的策略和技巧(1)解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,首先要明确圆锥曲线的性质,做好对图形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,注意将动点的几何特性用数学语言表达出来.(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围等.变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程是.解析由已知,圆E半径为r=2,设圆P的半径为R,则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,因为a=1,c=2,所以b=,所以,所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).答案x2-=1(x≤-1)ξ3𝑦23𝑦23专题二圆锥曲线定义的应用例2已知斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.解(方法1)如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),∴直线AB的方程为y=x-1.将方程①代入抛物线方程y2=4x,得(x-1)2=4x.化简得x2-6x+1=0,解得x1=3+2ξ2,x2=3-2ξ2.将x1,x2的值代入方程①中,得y1=2+2ξ2,y2=2-2ξ2,即点A,B的坐标分别是(3+2ξ2,2+2ξ2),(3-2ξ2,2-2ξ2).∴|AB|=ට(4ξ2)2+(4ξ2)2=8.(方法2)根据抛物线的定义,|AF|等于点A到准线x=-1的距离,即|AF|=x1+1.同理,|BF|=x2+1.于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.由方法1知,x2-6x+1=0,故x1+x2=6.∴|AB|=6+2=8.(方法3)结合方法1得|AB|=ඥ(1+𝑘2)|x1-x2|=ξ1+𝑘2·ට(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=ξ2×ට62-4×1=8.(方...
