高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第五章2021内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用专题归纳思维深化专题一导数的几何意义例1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线方程.分析求出函数的导数:(1)可利用切点(2,-6)求出切线斜率,写出切线方程;(2)设出切点坐标,表示出切线方程,利用切线过原点求解,也可以利用切点与原点连线的斜率等于导函数在切点处函数值列式求解;(3)设出切点坐标,利用两直线互相垂直时,斜率之积为-1,列方程求解.14解(1) f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即13x-y-32=0.(2)(方法1)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3𝑥02+1,∴直线l的方程为y=(3𝑥02+1)(x-x0)+𝑥03+x0-16.又直线l过点(0,0),∴0=(3𝑥02+1)(-x0)+𝑥03+x0-16.整理得𝑥03=-8,∴x0=-2.∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).(方法2)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).则k=𝑦0-0𝑥0-0=𝑥03+𝑥0-16𝑥0,又k=f'(x0)=3𝑥02+1,∴𝑥03+𝑥0-16𝑥0=3𝑥02+1,解得x0=-2,(3) 切线与直线y=-𝑥4+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3𝑥02+1=4,∴x0=±1.∴൜𝑥0=1,𝑦0=-14或ቊ𝑥0=-1,𝑦0=-18.即切点为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即4x-y-18=0或4x-y-14=0.规律方法(1)导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系:已知切点(x0,y0),则①k=f'(x0);②y0=f(x0);③(x0,y0)满足切线方程.变式训练1(1)(2021内蒙古包头高三期末)若直线y=-2x+b为曲线y=x-ex的一条切线,则实数b的值是()A.ln3-3B.3ln3+3C.ln3+3D.3ln3-3(2)(2021安徽黄山高三一模)已知函数f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线与曲线y=f(x)切于点(x1,y1),则-ln(2x1)=.答案(1)D(2)3𝑥12解析(1)设切点为(x0,x0-e𝑥0),由y=x-ex得y'=...
