高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI数学文化第三章20211.阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.现有椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点M满足|𝑀𝐴||𝑀𝐵|=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()A.ξ23B.ξ33C.ξ22D.ξ32解析设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵动点M满足|𝑀𝐴||𝑀𝐵|=2,则ට(𝑥+𝑎)2+𝑦2=2ට(𝑥-𝑎)2+𝑦2,化简得(x-5𝑎3)2+y2=16𝑎29.∵△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴12×2a×43a=8,12×2b×13a=1,解得a=ξ6,b=ξ62,∴椭圆的离心率为ට1-𝑏2𝑎2=ξ32.答案D2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”.设F是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点,直线y=ξ3x交椭圆于A,B两点.若|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,则此椭圆的离心率为()A.ξ3-1B.ξ32C.ξ3-12D.12解析∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,∴AF⊥BF,∴|OA|=|OB|=|OF|=c.∴令A(𝑐2,ξ3𝑐2),∴𝑐24𝑎2+3𝑐24𝑏2=1,即𝑎2-𝑏2𝑎2+3·𝑎2-𝑏2𝑏2=4,即(𝑏2𝑎2)2+6·𝑏2𝑎2-3=0,得𝑏2𝑎2=2ξ3-3.∴e2=1-𝑏2𝑎2=4-2ξ3,∴e=ξ3-1.答案A3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(图①)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线(图②),该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.𝑎28ℎB.𝑎24ℎC.𝑎22ℎD.𝑎2ℎ解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x2=-2py(p>0).∵该抛物线经过点(𝑎2,-h),代入抛物线方程可得𝑎24=2hp,解得p=𝑎28ℎ,∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=𝑎28ℎ.答案A更多精彩内容请登录志鸿优化网http://www.zhyh.org/本课结束
