高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第五章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一三角函数的图象及其变换例1(2021天津一中高一期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递增区间,并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.解(1)由函数的图象可得A=3,34T=34×2π𝜔=4π-π4,解得ω=25.由图象知,f(x)过点π4,0,则fπ4=3sin25×π4+φ=0,故sinπ10+φ=0,则π10+φ=kπ,k∈Z,φ=kπ-π10,k∈Z,由|φ|<π2,∴φ=-π10,∴f(x)=3sin25x-π10.(2)令2kπ-π2≤25x-π10≤2kπ+π2,k∈Z,得5kπ-π≤x≤5kπ+3π2,故函数的单调递增区间为5kπ-π,5kπ+3π2,k∈Z.函数的最大值为3,此时,25x-π10=2kπ+π2,即x=5kπ+3π2,k∈Z,即f(x)的最大值为3,取到最大值时x的集合为xx=5kπ+3π2,k∈Z.方法技巧由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.变式训练1已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的图象上的一个最低点为Mቀ2π3,-2ቁ,周期为π.(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式;(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.π6ቂ0,π12ቃ解(1) T=2π𝜔=π,∴ω=2.又f(x)min=-2,∴A=2. f(x)的最低点为Mቀ2π3,-2ቁ,∴sinቀ4π3+𝜑ቁ=-1. 0<φ<π2,∴4π3<4π3+φ<11π6.∴4π3+φ=3π2.∴φ=π6.∴f(x)=2sinቀ2𝑥+π6ቁ.(2)y=2sinቀ2𝑥+π6ቁ的图象y=2sinቀ12×2x+π6ቁ=2sinቀ𝑥+π6ቁ的图象y=2sinቂቀ𝑥-π6ቁ+π6ቃ=2sinx的图象,∴y=g(x)=2sinx.(3) 0≤x≤π12,∴π6≤2x+π6≤π3.∴当2x+π6=π6,即x=0时,f(x)min=2sinπ6=1;当2x+π6=π3,即x=π12时,f(x)max=2sinπ3=ξ3.专题二三角函数的求值例2试求ξ3tan10°+4sin10°的值.解原式=ξ3sin10°+4sin10°cos10°cos10°=ξ3sin10°+2sin20°cos10°=ξ3sin(30°-20°)+2sin20°cos10°=ξ3sin30°cos20°-ξ3cos30°sin20°+2sin20°cos10°=ξ32cos20°+12s...
