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高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI数学文化第一章20211.中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE、四边形CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF􀰿AB.若这个刍甍的体积为,求异面直线AB与CF所成角的余弦值.12403解(方法1)取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,设E到平面ABCD的距离为h,则12×4×h×2+13×4×2×h=403,解得h=2. CN=ξ16+4=2ξ5,∴CF=ξ5+4=3. CD∥AB,∴∠FCD为异面直线AB与CF所成角.在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,∴cos∠FCD=9+4-92×3×2=13.(方法2)取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,设E到平面ABCD的距离为h,如图,以D为坐标原点,以DC为x轴,DA为y轴,垂直于平面ABCD且过点D的直线为z轴,建立空间直角坐标系.由已知得A(0,4,0),B(4,4,0),C(4,0,0),F(3,2,2),因此,𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(4,0,0),𝐶𝐹ሬሬሬሬሬԦ=(-1,2,2),∴cos<𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,𝐶𝐹ሬሬሬሬሬԦ>=𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐶𝐹ሬሬሬሬሬԦ|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ||𝐶𝐹ሬሬሬሬሬԦ|=-44×3=-13.∴AB与CF所成角的余弦值为13.则12×4×h×2+13×4×2×h=403,解得h=2.2.中国古代数学名著《九章算术·商攻》中阐述:“斜解立方,得两壍堵.斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成的角等于,PB与平面PDC所成角的正弦值等于.解析(方法1)如图, 底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,则∠PAD为PA与BC所成的角. PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.在Rt△PDA中, PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA与BC所成的角等于45°. PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC,则平面PDC⊥平面ABCD.又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC.∴∠BPC是PB与平面PDC所成角. PD=3,DC=4,∴PC=5.又BC=3,∴PB=ξ32+52=ξ34.∴sin∠BPC=𝐵𝐶𝑃𝐵=3ξ34=3ξ3434.则𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(3,0,-3),𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-3,0,0),𝑃𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(3,4,-3).∴cos<𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ,𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ>=𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ·𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ|𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ||𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=-93ξ2×3=-ξ22.∴PA与BC所成角为45°.可知𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ为平面PDC的一个法向量,𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=(-3,...