第22卷第6期南阳师范学院学报Vol.22No.62023年11月JournalofNanyangNormalUniversityNov.2023收稿日期:2023-06-22基金项目:2019年度河南省高等学校精品在线开放课程、2022年度省部共建放射医学与辐射防护国家重点实验室开放课题(GZK1202232);2019年河南省优秀基层教学组织、南阳师范学院“课程思政”项目(2019-KCSZ-16);河南省高等学校重点科研项目(23A110004)作者简介:华梦霞(1977—),女,河南南阳人,硕士,副教授,主要从事高等数学方面的研究。关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛题推广的条件华梦霞,陈庆(南阳师范学院数学与统计学院,河南南阳473061)摘要:《一道全国大学生数学竞赛试题的推广》(《高等数学研究》2022年第5期)对第十二届全国大学生数学竞赛的一道试题进行了推广,并得到了相关数列的极限。本文指出在讨论该文中的相应极限时,是可以去掉连续性假设的。关键词:严格单调函数;连续性;反函数中图分类号:O172.1文献标志码:A文章编号:1671-6132(2023)06-0046-03数学竞赛活动的开展,可以增强大学生学习数学的兴趣,培养其分析、解决问题的能力,发现和选拔数学创新人才,故不少文献都关注了竞赛试题的研究[1-6]。本文对2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛(数学类A卷)第五题的推广做进一步的研究。原试题如下:φ是R上严格单调增加的连续函数,ψ是φ的反函数,实数列{xn}满足xn+2=ψ1-1n()φ(xn)+1nφ(xn+1)(),n≥2。证明{xn}收敛或举例说明{xn}有可能发散。该试题的答案是可以证明{xn}收敛,文献[1]说明:去掉连续性假设仍可证明{xn}是收敛的。文献[2]对此进行了推广,得到了如下结果。命题1φ是R上严格单调函数,ψ是φ的反函数,实数列{xn}满足xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),(∗)其中,0<αn<1,若无穷乘积∏∞k=1αk发散到0,则{xn}收敛。给出命题1后,文献[2]在αn取一些特殊值时给出了{xn}的极限,但在计算一些具体的{xn}的极限时,仍然假设了φ是连续的。本文将指出,在命题1基础上计算{xn}的极限时,仍无需假设φ的连续性,可得完全相同的结论。本文主要结果如下。命题2φ,ψ,{xn},{αn}如命题1中所示,设limn→∞xn=x0,若x1≠x2,则φ在点x0连续。证明:不妨设φ严格单调递增,xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),则φ(xn+2)=αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)。记yn=φ(xn),于是yn+2=αnyn+(1-αn)yn+1,由此可知yn+2-yn+1=-αn(yn+1-yn)。反复应用上式可得yn+2-yn+1=(-1)n∏nk=1αk(y2-y1)。(1)第6期华梦霞,等:关于第十二届全国大学生数学竞赛一道赛...
