1.6.2　正弦定理.docx

1.6.2　正弦定理 必备知识基础练 1.在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则b等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.46 B.45 C.43 D.223 答案A 解析∵∠A+∠B+∠C=180°, 又∠B=60°,∠C=75°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=45°. 由正弦定理asinA=bsinB, 得b=asinBsinA=8sin60°sin45°=46.故选A. 2.在△ABC中,若a=3,b=3,∠A=π3,则角C的大小为(　　) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案D 解析由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=3sinπ33=12.因为a>b,所以∠A>∠B,所以∠B=π6,所以∠C=π-π3-π6=π2. 3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　) A.35 B.±35 C.-35 D.±25 答案B 解析由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=±35. 4.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 答案C 解析由已知可求得草皮的面积为S=12×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元. 5.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案B 解析由已知,得asinA=b=bsinB,所以sin B=1,所以∠B=90°,故△ABC一定是直角三角形. 6.在△ABC中,∠B=45°,∠C =60°,c=1,则最短边的长等于　　　.  答案63 解析由三角形内角和定理,得∠A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1×2232=63. 7.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圆半径为3,则边c的长为　　　　.  答案3 解析∵S△ABC=12absin C=153,ab=60, ∴sin C=32.由正弦定理,得csinC=2R, 则c=2Rsin C=3. 8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知∠A=60°,c=37a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求△ABC的面积. 解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sin C=csinAa=37×32=3314. (2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=12bcsin A=12×8×3×32=63. 关键能力提升练 9.(2020山东济南检测)在△ABC中,∠A=60°,a=43,b=42,则∠B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案C 解析∵sin B=bsinAa=42×3243=22, ∴∠B=45°或135°. 又∵a>b,∴∠B=45°,故选C. 10.在△ABC中,∠A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于(　　) A.833 B.2393 C.2633 D.23 答案B 解析由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60°=2393. 11.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为(　　) A.13 B.-23 C.14 D.-14 答案A 解析∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0), 则cos C=a2+b2-c22ab=9k2+4k2-9k212k2=13. 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　) A.233 B.253 C.263 D.283 答案B 解析由3acos C=4csin A,得asinA=4c3cosC.又由正弦定理asinA=csinC,得csinC=4c3cosC, ∴tan C=34,∴sin C=35. 又S=12bcsin A=10,b=4,∴csin A=5. 根据正弦定理,得a=csinAsinC=535=253,故选B. 学科素养创新练 13.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍. (1)求sinBsinC; (2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长. 解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD, S△ADC=12AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以BD=2DC=2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 4