第1页共4页课时跟踪检测（三）空间向量基本定理1．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是()A．aB．bC．cD．p－2q解析：选C因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面．2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p.3．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是()A．OM＝OA＋OB＋OCB．MA＝MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC解析：选C对于选项A，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知MA，MB，MC共面；对于选项B、D，易知MA，MB，MC共面，故选C.4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，所以AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，所以cos〈AB，CD〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.5．在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN=()A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c解析：选BMN＝MA＋AB＋BN＝OA＋OB－OA＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________.解析： a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0，∴a⊥b.第2页共4页答案：a⊥b7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有解得答案：2－28.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________.解析：GE＝GA＋AD＋DE＝－(AB＋AC)＋AD＋(AB－AD)＝－AB－AC＋AD.答案：－AB－AC＋AD9.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a...
