(一)教材梳理填空1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________.其中，把{a,b,c}叫做空间的一个，a，b，c都叫做，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．p＝xa＋yb＋zc基底基向量2．单位正交基底与正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都为，那么这个基底叫做，常用________表示.(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行．两两垂直1单位正交基底正交分解{i，j，k}(二)基本知能小试1．判断正误(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．()(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．()(4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A．AB―→，AC―→，AD―→B．AB―→，AA1―→，AB1―→C．D1A1―→，D1C1―→，D1D―→D．AC1―→，A1C―→，CC1―→解析：由题意知，D1A1―→，D1C1―→，D1D―→不共面，可以作为空间向量的一个基底．答案：C题型一基底的判断[学透用活][典例1]已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA―→＝e1＋2e2－e3，OB―→＝－3e1＋e2＋2e3，OC―→＝e1＋e2－e3，试判断{OA―→，OB―→，OC―→}能否作为空间的一个基底？[解]假设OA―→，OB―→，OC―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA―→＝xOB―→＋yOC―→成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. {e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解，即不存在实数x，y，使OA―→＝xOB―→＋yOC―→成立．∴OA―→，OB―→，OC―→不共面．故{OA―→，OB―→，OC―→}能作为空间的一个基底．[方法技巧]判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[对点练清]若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝...
