3.1.2　表示函数的方法.docx

第3章函数的概念与性质 3.1　函数 3.1.2　表示函数的方法 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(2020北京人大附中高一期中)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表: x 1 2 3 f(x) 2 1 3 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g[f(x)]=x+1的解集为(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3} 答案C 解析∵当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1,∴x=1是方程的解. ∵当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1,∴x=2是方程的解.∵当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1, ∴x=3不是方程的解.故选C. 2.已知f1-x1+x=x,则f(x)=(　　) A.x+1x-1 B.1-x1+x C.1+x1-x D.2xx+1 答案B 解析令1-x1+x=t,则x=1-t1+t,故f(t)=1-t1+t, 即f(x)=1-x1+x. 3.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(　　) A.x+1 B.x-1 C.2x+1 D.3x+3 答案A 解析因为3f(x)-2f(-x)=5x+1, 所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1, 解得f(x)=x+1. 4.(2021广州南沙高一月考)下列函数中,对任意x,不满足2f(x)=f(2x)的是(　　) A.f(x)=|x| B.f(x)=-2x C.f(x)=x-|x| D.f(x)=x-1 答案D 解析选项D中,2f(x)=2x-2≠f(2x)=2x-1,选项A,B,C中函数均满足2f(x)=f(2x).故选D. 5. (2020浙江台州一中高一期中)已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则f1f(3)=　　　　　,函数g(x)=f(x)-32的图象与x轴交点的个数为　　　　　.  答案2　2 解析由题得f(3)=1,∴f1f(3)=f(1)=2. 令g(x)=f(x)-32=0,所以f(x)=32,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=32有两个解,所以g(x)=f(x)-32的图象与x轴交点的个数为2. 6.作出下列函数的图象,并指出其值域: (1)y=x2+x(-1≤x≤1); (2)y=2x(-2≤x≤1,且x≠0). 答案 解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示. 由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为-14,2. (2)用描点法可以作出函数的图象如图所示. 由图可知y=2x(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞). 7.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式. 解(方法1)由于函数图象的顶点坐标为(1,3), 则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0). ∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0, ∴a=-3. 故f(x)=-3(x-1)2+3. (方法2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得-b2a=1,4ac-b24a=3,c=0,即b=-2a,b2=-12a,c=0.解得a=-3,b=6,c=0. ∴f(x)=-3x2+6x. 关键能力提升练 8.若f(1-2x)=1-x2x2(x≠0),那么f12=(　　) A.1 B.3 C.15 D.30 答案C 解析令1-2x=12,则x=14. ∵f(1-2x)=1-x2x2(x≠0), ∴f12=1-(14) 2(14) 2=15.故选C. 9.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数可以为y=f(x)解析式的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=2x D.f(x)=x2+x 答案C 解析若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C. 10.(多选题)(2020江苏高一期末)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=9 B.f(-3)=4 C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2 答案BD 解析令t=2x-1,则x=t+12,∴f(t)=4t+122=(t+1)2.∴f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)2. 11.(2021安徽合肥蜀山高一期末)已知f(x+1)=1x,则f(x)=　　　　　　　　.  答案1(x-1)2(x>1) 解析令x+1=t,则t≥1,x=(t-1)2, 故f(t)=1(t-1)2(t≥1). 由t-1≠0,解得t≠1,故t>1,故f(x)=1(x-1)2(x>1). 12.(2021江西南康中学高一月考)已知函数f(x)满足f1-x2=x. (1)求f(x)的解析式; (2)求函数y=f1-x2-f(x)的值域. 解(1)令1-x2=t,则x=-2t+1, 则f(t)=-2t+1,即f(x)=-2x+1. (2)y=f1-x2-f(x)=x--2x+1, 设t=-2x+1,则t≥0,且x=-12t2+12, 得y=-12t2-t+12=-12(t+1)2+1, ∵t≥0,∴y≤12.∴该函数的值域为-∞,12. 13.已知函数f(x)=xax+b(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值. 解由f(x)=x,得xax+b=x, 即ax2+(b-1)x=0. ∵方程f(x)=x有唯一解, ∴Δ=(b-1)2=0, 即b=1.∵f(2)=1,∴22a+b=1.∴a=12. ∴f(x)=x12x+1=2xx+2. ∴f(f(-3))=f(6)=128=32. 学科素养创新练 14.(1)已知f(1+2x)=1+x2x2,求f(x)的解析式. (2)已知g(x)-3g1x=x+2,求g(x)的解析式. 解(1)由题意得,f(1+2x)的定义域为{x|x≠0}.设t=1+2x(t≠1),则x=t-12, ∴f(t)=1+t-122t-122=t2-2t+5(t-1)2(t≠1), ∴f(x)=x2-2x+5(x-1)2(x≠1). (2)由g(x)-3g1x=x+2,① 得g1x-3g(x)=1x+2,② ①②联立消去g1x得, g(x)=-x8-38x-1(x≠0). 5