课时跟踪检测（十五）简单复合函数的导数1．函数y＝exsin2x的导数为()A．y′＝2excos2xB．y′＝ex(sin2x＋2cos2x)C．y′＝2ex(sin2x＋cos2x)D．y′＝ex(2sin2x＋cos2x)解析：选B由题意结合导数的运算法则可得y′＝(ex)′·sin2x＋ex·(sin2x)′＝ex(sin2x＋2cos2x)．故选B.2．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mmB.400mmC.mm/minD.mm/min解析：选D f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝.3．(2020·重庆一中期末)设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为()A．1B.－C.D.－1解析：选Af′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.4．若f(x)＝a－2＋asin2x为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为()A．－2B.－4C．2D.4解析：选D f(x)是奇函数，∴a－2＝0，得a＝2，∴f(x)＝2sin2x，f′(x)＝4cos2x，∴f′(0)＝4.∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.故选D.5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B.2C．－1D.－2解析：选B设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0.又y′＝，所以y′＝＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.6．已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，则f′＝________.解析： f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，∴f′＝1.答案：17．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．解析： f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)·(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.答案：28．函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．解析：由函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，得y′＝(1＋cos2x)′＝－2sin2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.答案：－19．求下列函数的导数：(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.解：(1) y＝sin(2x－1)由y＝sinu与u＝2x－1复合而成，∴yx′＝(sinu)′·(2x－1)′＝2cosu＝2cos(2x－1)．(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．10．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．解：设直线l与曲线y＝ln(2x－1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2x－y＋3＝0平行．由直线l的斜率k＝＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2x－y－2＝0.直线l与直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离...
