“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/3．7点到平面的距离[读教材·填要点]1．点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P到平面α作垂线PD交平面α于D，则线段PD的长度d称为点P到平面α的距离．(2)求法：平面α的法向量n以及平面上任一点A，则AP在法向量n所在方向上的投影长度d就等于点P到平面α的距离，即d＝.2．直线与平面的距离设直线l平行于平面α，则l上所有的点到α的距离相等，称为l与α的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到α的距离，就得到l与α的距离．3．平面与平面的距离设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d相等，d称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P，求出P到α的距离，就得到了这两个平面的距离．[小问题·大思维]1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行．2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．求点到平面的距离四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[自主解答](1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)，∴DE＝FP＋FB，∴DE∥平面PFB.又 DE⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2) DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则⇒令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，又 FD＝(－1,0,0)，∴点D到平面PFB的距离d＝＝＝.∴点E到平面PFB的距离为.利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2.求点M到平面AB1P的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B1(0,0,4)，P(0,4,0)，M(2,3,4)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥AB1，n⊥AP， AB1＝(－4,0,4)，AP＝(－4,4,0)，∴因此可取n＝(1,1,1)，由于MA＝(2，－3，－4)，所以点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，“备课大师”...
