第1页共5页课时跟踪检测（七）用空间向量研究距离问题1．已知直线l的方向向量n＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为()A．B．C．D．2解析：选A由已知得PA＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝＝＝.2．若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是()A．B．C．D．解析：选D分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝＝.3．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．6解析：选C因为AB＝(4，－5,0)，AC＝(0,4，－3)，则AC对应的单位向量为，所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝＝＝5.4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A．B．C．D．1解析：选B过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，故A1C＝(1,2，－3)，BC＝(0,2,0)，A1C对应的单位向量为，所以点B到A1C的距离为＝＝.5．若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．aB．aC．aD．a解析：选D建立空间直角坐标系如图．第2页共5页则A(a,0,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，∴AB1＝(0，a，a)，AD1＝(－a,0，a)．设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，则得取z＝1，则n＝(1，－1,1)．又 AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. C1B1＝(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1,1)，∴d＝＝＝a.6．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________.解析：PA＝(－2,0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为＝＝.答案：7．在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则PB＝(2,0，－2)，BC＝(0,2,0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即取a＝1，得n＝(1,...
