5.2 矩阵的相似对角化.PPTVIP免费

1第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用2第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念定义对于n阶矩阵A和B，,1BPAP则称A与B相似，称对A所进行的运算为对A进行相似变换。PAP1称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵。记为.~BA若存在可逆的n阶方阵P使得或者称A相似于B，注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。P144定义5.23第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质(1)反身性性质;~AA(2)对称性若则;~AB,~BA(3)传递性若则.~CA,~BA,~CB(4).)()(BrAr若则,~BA(5).||||BA若则,~BAP144定理5.5P1444第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化定理若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式,证明因A与B相似，即存在可逆的矩阵P使得,1BAPP||1IPAP即A与B有相同的特征多项式。从而A与B有相同的特征值。故||IB|)(|1PIAP||11PIPPAP||||||1PIAP.||IA一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质P144定理5.5(3)5第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于n阶矩阵A，则称A可相似对角化；若存在可逆的n阶方阵P，使得记为.Λ▲P145定义5.36第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化.1PBPk若存在可逆矩阵P使,1BPAPkkPBPPBPPBPA111则1PΛPAkk.121PaaaPknkk,1PBPA则特别地，,21naaaΛB若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)7第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化例证明矩阵不能相似对角化。aaaA11证(反证法),3211ΛaaaPAP假设存在可逆矩阵P，使得即得,1PΛPA故它们有相同的特征值，由矩阵A与相似，,321aaaa,IaΛ,)(1IaPIaPA矛盾！故矩阵A不能相似对角化。8第五章相似矩阵§5.2矩阵的相似对角化1.问题分析(1)如何构成？的主对角线上的元素由A的全部特征值构成。由于是的n个特征值，naaa,,,21而A与相似，因此就是A的n个特征值.naaa,,,21naaaPAP000000211...