八年级同步第15讲：反比例函数的图像及性质-教师版.doc

八年级暑假班 反比例函数的图像及性质 内容分析 反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据． 知识结构 模块一：反比例函数的概念 知识精讲 一、 反比例函数的概念 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量 成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 例题解析 【例1】 下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？ （1）被除数为100，变量分别是除数和商； （2）三角形面积一定时，三角形一边上的长和这条边上的高； （3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v（米/秒）和跑完 全程所用时间t（秒）； （4）完成工作量Q一定时，完成工作量所需的时间t与工人人数n（假设每个工人的 工作效率相同）. 【难度】★ 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）是． 【解析】考查两个变量成反比例的定义：两个变量的乘积为为定值． 【例2】 一个长方体的体积是20cm3，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.写出长y与高x之间的函数关系式. 【难度】★ 【答案】． 【解析】长方体的体积=长×宽×高． 【例3】 下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）y=+7． 【难度】★ 【答案】（2）（4）是反比例函数，其余都不是． 【解析】解析式形如的函数叫做反比例函数． 【总结】本题主要考查反比例函数的定义． 【例4】 已知y是x的反比例函数，且时，，那么y关于x的函数解析式是________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设函数解析式为：，将，代入，得：． 【总结】考查反比例函数解析式的求法． 【例5】 已知y与成反比例，且当时，，求y与x的函数解析式． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设函数解析式为：，将，代入，得：． 【总结】考查反比例的定义：两个变量的乘积为定值． 【例6】 若函数是反比例函数，则m的值为________． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】由题意，可得：，则或，∵，∴． 【总结】本题主要考查反比例函数的概念． 【例7】 如果是反比例函数，那么n的值是________． 【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】且，则． 【总结】本题主要考查反比例函数的概念． 【例8】 已知y是x的反比例函数，且当时，，那么当时，x的值是________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】已知y是x的反比例函数，且当时，，则反比例函数解析式为 ．当时，． 【总结】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式以及由解析式求函数值． 【例9】 如果变量和变量成正比例，变量和变量成反比例，那么变量x和z成________比例关系． 【难度】★★ 【答案】反． 【解析】如果变量和变量成正比例，则可设， 变量和变量成反比例，则可设，∴，即． ∴变量x和z成反比例关系． 【总结】本题主要考查两个变量成反比例的概念． 【例10】 已知反比例函数，求k的值，并求当x=时的函数值 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】因为是反比例函数，所以，所以． 则函数解析式为：，当x=时，． 【总结】考查反比例函数的定义：形如的函数． 【例11】 已知，若与正比例，与成反比例函数，且当时，，当时，，求y与x间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设，，则． 当时，，当时，； 则， 解得： ∴． 【总结】本题主要考查复合函数的求解． 【例12】 已知，若与正比例，与成反比例，且当时，当时； （1）求y与x间的函数关系式； （2）求当时，x的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）（2），． 【解析】（1）设，，则． 当时，当时；则，解得：． ∴． （2）当时，，整理为：，解得：，． 经检验，，均为此方程的解．∴，． 【总结】本题一方面主要考查复合函数的求解，另一方面考查函数解的求解． 【例13】 已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点，求反比例函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】正比例函数的图像过点，则正比例函数表达式为， ∵正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数， ∴反比例函数解析式为． 【总结】本题主要考查反比例函数的解析式的确定． 师生总结 1、反比例函数自变量的指数是多少？ 2、反比例函数自变量的定义域是多少？ 模块二：反比例函数的图像和性质 知识精讲 二、 反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 三、 反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 例题解析 【例14】 已知反比例函数和 列表：取自变量的一些值，根据反比例函数的解析式，填写下表 …… …… …… …… …… …… 描点：分别以所取的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接 【难度】★ 【答案】 【解析】考查反比例函数图像是双曲线． 【例15】 已知反比例函数，那么当＜0时，y的值随着x的增大而________． 【难度】★ 【答案】增大． 【解析】考查反比例函数在每个象限内y随着x的增大而增大． 【例16】 反比例函数在它的图像所在的每个象限内，y随x的增大而________． 【难度】★ 【答案】减小． 【解析】由题意，可得，所以在每个象限内y随着x的增大而减小． 【总结】本题主要考查反比例函数的定义和图像性质． 【例17】 若反比例函数的图像经过点，那么函数图像在________象限． 【难度】★ 【答案】二、四象限． 【解析】由题意可得，反比例函数的解析式为：，所以图像在第二、四象限． 【总结】考查反比例函数在二、四象限． 【例18】 已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以，即． 【总结】考查反比例函数在一、三象限． 【例19】 函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】因为图象在第一、第三象限内，所以，即． 【总结】考查反比例函数在一、三象限． 【例20】 已知函数的图象不经过第一、三象限，则的图象经过第________象限． 【难度】★★ 【答案】一、三． 【解析】因为的图象不经过第一、三象限，所以，所以，所以的 图象经过第一、三象限． 【总结】考查反比例函数图像的性质． 【例21】 如果反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，那么正比例函数（是常数，）的图像经过哪几个象限？ 【难度】★★ 【答案】二、四． 【解析】因为反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，所以， 所以正比例函数（是常数，）的图像经过二、四象限． 【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质． 【例22】 若正比例函数，与反比例函数的图像没有交点，那么k与m满足关系式可以是________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】满足题意的图像有两种：正比例函数在第一、三象限，与反比例函数 的图像在二、四象限，此时；若正比例函数在第 二、四象限，与反比例函数的图像在一、三象限，此时； 综上所述，． 【总结】本题主要考查正、反比例函数图像的性质． 【例23】 已知反比例函数的图像上有两点、，且，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【难度】★★ 【答案】D 【解析】因为，所以在每个象限内，y随x的增大而增大．由于本题不知道两个 点是否在同一象限，因此函数值无法比较．故选D． 【总结】本题主要考查反比例图像的性质． 【例24】 反比例函数的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x轴的距离是________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意，可得该点的坐标为，所以这点到x轴的距离是． 【总结】本题主要考查反比例函数的图像与点的关系，注意坐标与距离的转化． 【例25】 已知反比例函数， （1）若该函数图像经过点，求k的值； （2）若该函数图像在每一象限内y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）将点代入，得：． （2）因为函数图像在每一象限内y随x的增大而减小，所以，则． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质． 【例26】 直线(k＞0)与双曲线交于、两点， 求的值． 【难度】★★ 【答案】20． 【解析】由题意可知：是方程的两个根，则． 所以． 【总结】主要考查点的坐标与函数图像的关系． 【例27】 反比例函数的图像上一点，过A点分别作轴、轴垂线，垂足为B、C； （1） 求矩形的面积； （2） 当点A沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】（1）2；（2）不变化，矩形的面积都为2． 【解析】（1）设，则； （2）不变化．由（1）中可得，A无论怎么变化，矩形的面积都为2． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性． 【例28】 若P（a，b）是反比例函数图像上的一点，且a是的整数部分，b是的小数部分，求反比例函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】，，则反比例函数的解析式为． 【解析】注意，而，故的整数部分为3．所以， 故反比例函数的解析式为． 【总结】本题一方面考查无理数的整数部分和小数部分的求法，另一方面考查反比例函数的解析式的确定． 【例29】 已知：点A、B是函数图像上关于原点对称的任意两点，AC∥轴，∥轴，求△ABC的面积． 【难度】★★★ 【答案】6． 【解析】设，则．∴． 【总结】注意点坐标与线段长度之间的转换． 【例30】 反比例函数的图像经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为，求k和m的值． 【难度】★★★ 【答案】，． 【解析】∵，∴； ∵反比例函数的图像经过点，则． 【总结】本题主要考查图像与面积的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换． 【例31】 已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A，B两点，若点A在第二象限，且点A的横坐标为-3，且AD⊥x轴，垂足为D，△AOD的面积是4． （1） 写出反比例函数的解析式； （2） 求出点B的坐标； （3） 若点C的坐标为（6，0），求△ABC的面积． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）16． 【解析】（1）设，则，∴，∴ （2） ∵反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称，∴． （3）． 随堂检测 【习题1】 下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？ （1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长（厘米） 和这条边上的高（厘米）； （2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度（）和 跑完全程所用时间（秒）. 【难度】★ 【答案】（1）是，；（2）是，． 【解析】考查两个变量成反比例的定义：两个变量的乘积为定值． 【习题2】 下列函数是不是反比例函数？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） ． 【难度】★ 【答案】（3）（4）（5）是反比例函数，其余均不是． 【解析】考查反比例函数的定义：形如的函数． 【习题3】 若函数是反比例函数，则k的值是________． 【难度】★ 【答案】2． 【解析】∵，∴或 ∵，∴． 【总结】本题主要考查反比例函数的概念． 【习题4】 在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像． （1）； （2）． 求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？ （2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标逐渐增大，纵坐标是怎样变化的？ （3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与轴、轴相交吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）位于一、三象限，位于二、四象限． （2） 在每一象限内，随着图像上的点的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐变小；随着图像上的点的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐增大． （3） 图像的每支都向两方无限延伸，不可能与轴、轴相交．反比例函数的定义域为． 【总结】考查反比例函数图像的性质． 【习题5】 已知正比例函数与反比例函数图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】交点（1，3）在反比例函数图像上，则可求反比例函数解析式． 【总结】本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式． 【习题6】 已知反比例函数，、为其图像上的两点，若当时，，则k的取值范围是________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】因为当时，，则可知图像经过二、四象限，所以，即． 【总结】考查反比例函数的图像性质． 【习题7】 若点是反比例函数图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ） A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】D 【解析】考查反比例函数图像上点的横坐标与纵坐标乘积为定值． 【习题8】 已知M是反比例函数 (≠0)图像上一点，轴于点A，若 ，则这个反比例函数的解析式是（ ） A．； B．； C．或； D．或. 【难度】★★ 【答案】C 【解析】过反比例函数 (≠0)图像上一点作x轴的垂线（或y轴的垂线)构成 的三角形的面积为． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性． 【习题9】 已知，若与正比例，与成反比例函数，且当时，；当时，，求y与x间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设，，则 当时，；当时，， 则，解得：． ∴． 【总结】本题主要考查求复合函数解析式的方法． 【习题10】 已知第三象限内的点B（3m，m）在反比例函数的图像上，且，而点A（1，y）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB的面积． 【难度】★★★ 【答案】，4． 【解析】∵，∴，∴． ∵，∴，∴， ∴反比例函数解析式为． ∵点A（1，y）也在双曲线上，∴． 过A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，AC交x轴于D，BC交y轴于E． ∴ ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质以及利用图像上的点求几何图形的面积． 【习题11】 、都是等腰直角三角形，点P1、P2在（x＞0）的图像上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，求点A2的坐标． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】设，∵是等腰直角三角形，∴，∴． 设的横坐标为，∵是等腰直角三角形，∴的纵坐标为． ∴，解得：． ∵，∴， ∴． 【总结】本题综合性较强，主要是利用等腰直角三角形的性质结合反比例函数的特征求出图像上点的坐标． 【习题12】 两个反比例函数和在第一象限内的图像如图所示，点P在的图像上，PC⊥x轴于点C，交的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交的图像于点B，当点P在的图像上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 【难度】★★★ 【答案】①②④ 【解析】①△ODB与△OCA的面积相等，都等于； ②四边形PAOB的面积不会发生变化，为； 设，则，，，， ． ③PA与PB不一定相等． 由②中所设可得：， 要使，则，即满足． ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 当点A是PC的中点时，，则 此时，，则，则点B一定是PD的中点． 综上所述：①②④正确． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质． 课后作业 【作业1】 反比例函数的图像在第二、四象限，则________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】考查反比例函数图像在二、四象限． 【作业2】 当n=________时，函数是反比例函数． 【难度】★ 【答案】-1． 【解析】，解：或．∵，∴． 【总结】本题主要考查反比例函数的概念． 【作业3】 函数是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则=________． 【难度】★ 【答案】0． 【解析】，解． 【总结】本题主要考查反比例函数的概念． 【作业4】 已知反比例函数，当________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，随的增大而________． 【难度】★ 【答案】；增大 【解析】考查反比例函数图像性质． 【作业5】 已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为厘米，求这个边的邻边长（厘米）关于（厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】长方形的面积=长×宽． 【总结】本题主要考查反比例函数与实际问题的结合． 【作业6】 反比例函数的图像上有两点，，若，，则________0，图像经过第________象限． 【难度】★★ 【答案】，一、三 【解析】考查反比例函数图像性质． 【作业7】 在平面直角坐标系内，从反比例函数上一点作轴、轴的垂线段，与轴、轴围成面积为3的矩形，求函数解析式． 【难度】★★ 【答案】或 【解析】过反比例函数上任一点分别作轴、轴垂线，构成的矩形的面积为． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性． 【作业8】 （1）已知与成反比例，当时，，求时，的值； （2）已知与成反比例，并当时，，求时，的值． 【难度】★★ 【答案】（1）2；（2）8． 【解析】（1）设，当时，，则，解得：，则． 当时，． （2）设，当时，，则，解得：，则． 当时，． 【总结】本题主要考查函数解析式的求法． 【作业9】 已知，与成正比例，与成反比例，当与时，，求关于的函数解析式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】设，，则． 当与时，， 则，解得：． ∴． 【总结】本题主要考查复合函数解析式的求法． 【作业10】 点是反比例函数的图像上的一点，AB⊥轴于点，求△AOB的面积． 【难度】★★★ 【答案】3． 【解析】过反比例函数图像上一点作x轴的垂线（或y轴的垂线)构成的三角形 的面积为． 【作业11】 已知n是正整数，，，…，…是反比例函数图像上的一列点，其中， ，…，，…．记，，…，，…，若(a是非零常数)，求的值(用含a和n的代数式表示)． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】设反比例函数解析式为，则． ∴． ∵，∴，∴． ∴． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质以及找规律的问题． 21 / 22