........第四章多元函数微分学.1偏导数和全微分的概念与计算.2多元微分的几何应用.3多元函数的极值问题........第一节偏导数和全微分的概念与计算二元函数的偏导数设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量∆x时，相应的函数有增量f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)，若lim∆x→0f(x0+∆x,y0)−f(x0,y0)∆x存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作∂z∂x��x=x0y=y0，∂f∂x���x=x0y=y0，z′x|x=x0y=y0或f′x(x0,y0).类似地，可以定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数........偏导函数若f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x(对y)的偏导数都存在，则我们能得到一个新的关于x,y的二元函数，这个函数在D内每一点(x,y)处的值为f(x,y)在该点处对x(对y)的偏导数，我们将这个函数称为f(x,y)对x的偏导函数，记作f′x(x,y).在不引起混淆的时候，我们也可以将偏导函数称为偏导数........可微的定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，若函数在点(x,y)处的全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y)可表示为∆z=A∆x+B∆y+o(ρ),其中A和B不依赖于∆x和∆y，而仅与x和y有关，ρ=√(∆x)2+(∆y)2，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，而A∆x+B∆y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz，即dz=A∆x+B∆y........xyOMNx0f(x0)f(x)x0+�x�xo(�x)αdy�yxyzPNABMOQ∆x∆yz=z0o(ρ)z=f(x�y)dz∆z(a)(b).......可微的判定条件必要条件若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，则该函数在点(x,y)处的偏导数∂z∂x与∂z∂y必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分为dz=∂z∂x∆x+∂z∂y∆y.充分条件若函数z=f(x,y)的偏导数∂z∂x，∂z∂y在点(x,y)处连续，则函数在该点处可微分........如何判断二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处是否可微1⃝求f(x0,y0).2⃝求函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数f′x，f′y.3⃝若f′x或f′y不存在，则函数f(x,y)不可微.若f′x，f′y均存在，则考察极限lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)−f(x0,y0)−f′x(x0,y0)(x−x0)−f′y(x0,y0)(y−y0)√(x−x0)2+(y−y0)2.若该极限存在且等于零，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微.........例1..二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是()(A)lim(x,y)→(0,0)[f(x,y)−f(0,0)]=0.(B)limx→0f(x,0)−f(0,0)x=0，且limy→0f(0,y)−f(0,0)y=0.(C)lim(x,y)→(0,0)f(x,y)−f(0,0)√x2+y2=0.(D)limx→0[f′x(x,0)−f′x(0,0)]=0，且limy→0[f′y(0,y)−f′y(...
