........第三节线性微分方程的解的结构若函数y1(x)和y2(x)是二阶齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解，其中C1，C2是任意常数.若函数y1(x)和y2(x)是二阶齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=0的两个线性无关的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解，其中C1，C2是任意常数........设y∗(x)是二阶非齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与其对应的齐次方程的通解，则y=Y(x)+y∗(x)是二阶非齐次线性方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解.若函数y1(x)，y2(x)均为二阶非齐次线性微分方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，则y1(x)−y2(x)为y′′+p(x)y′+q(x)y=0的解.........例9..已知y1=e3x−xe2x，y2=ex−xe2x，y3=−xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y′|x=0=1的解为y=........线性微分方程的解的叠加原理若非齐次线性微分方程形如y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x),而y∗1(x)与y∗2(x)分别是方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)和方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)的特解，则y∗1(x)+y∗2(x)也是方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解.........例10..微分方程y′′−4y′+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y∗=()(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x).(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x).(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x).(D)Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x).����见讲义第三节同步习题.
