........第五节定积分的应用元素法几何应用平面图形的面积、曲线弧长、旋转体的体积、侧面积等.物理应用变力做功、液体压力、引力等........元素法一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件：(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；(2)U对于区间[a,b]具有可加性，也就是说，如果把区间[a,b]分成许多部分区间，那么U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；(3)部分量∆Ui的近似值可表示为f(ξi)∆xi，那么就可考虑用定积分来表达这个量U........平面图形的面积(1)曲线y=f(x)与y=g(x)(f(x)≥g(x))及x=a，x=b围成的平面图形的面积为A=∫ba[f(x)−g(x)]dx.(2)曲线x=φ(y)与x=ψ(y)(φ(y)≥ψ(y))及y=c，y=d围成的平面图形的面积为A=∫dc[φ(y)−ψ(y)]dy.(3)极坐标曲线r=r(θ)介于两射线θ=α，θ=β(0<β−α≤2π)之间的曲边扇形的面积为A=12∫βα[r(θ)]2dθ.........例17..设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ(−π6≤θ≤π6)，则L所围平面图形的面积是........曲线弧长(数三不要求)(1)当曲线是由参数方程x=x(t),y=y(t)(t∈[α,β])给出，x(t)，y(t)在[α,β]上具有连续导数，且不同时为零时，弧长s=∫βα√[x′(t)]2+[y′(t)]2dt.(2)当曲线是由直角坐标方程y=f(x)(x∈[a,b])给出，且f(x)在[a,b]上具有连续导数时，弧长s=∫ba√1+[f′(x)]2dx.(3)当曲线是由极坐标方程r=r(θ)(θ∈[α,β])给出，且r(θ)在[α,β]上具有连续导数时，弧长s=∫βα√[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ.........例18..曲线y=∫x0tantdt(0≤x≤π4)的弧长s=........旋转体的体积(a)xx+dxD�x轴转动(b)xx+dxD�y轴转动.......如图(a)所示，若旋转体由区域D(由y=f(x)，x=a，x=b(b>a≥0)，以及x轴围成的曲边梯形)绕x轴旋转而来，则该旋转体的体积为Vx=∫baπ[f(x)]2dx.如图(b)所示，区域D绕y轴旋转所得旋转体的体积为Vy=2π∫baxf(x)dx.........例19..设f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)
