５７第六节不等式的证明（１）利用函数的单调性证明．对形如ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）的不等式，通过移项，将原不等式转化为Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）≥０的形式．若Ｆ（ｘ０）＝０，则可以计算Ｆ′（ｘ），利用Ｆ（ｘ）的单调性证明Ｆ（ｘ）≥Ｆ（ｘ０）＝０．若Ｆ′（ｘ）的符号不容易确定，则还可以计算Ｆ″（ｘ）以帮助确定Ｆ′（ｘ）的符号．（２）利用函数的最值证明．对形如ａ≤ｆ（ｘ）≤ｂ的不等式，可以考虑计算ｆ（ｘ）的最大值Ｍ和最小值ｍ，并证明ａ≤ｍ≤Ｍ≤ｂ．（３）利用微分中值定理或泰勒公式证明．对某些不等式，可利用已知函数的泰勒公式进行放缩．（４）利用曲线的凹凸性证明．（５）若不等式为数值不等式，则可以构造辅助函数将其转化为函数不等式进行证明．若不等式形如ｆ（ａ）≤ｆ（ｂ），则可以考虑利用导数讨论ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的单调性来证明．若不等式形如ｍ≤ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ≤Ｍ，则可以考虑利用拉格朗日中值定理将其转化为对ｆ′（ｘ）的不等式进行证明．最后，辅助函数的构造因具体情况而异．以上思路虽然较典型，但并不是万能的．大家在解题过程中要根据具体情况进行分析．５８１（１９９２年卷Ⅰ试题）设ｆ″（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．５９２（１９９３年卷Ⅰ试题）设ｂ＞ａ＞ｅ，证明ａｂ＞ｂａ．６０３（１９９６年卷Ⅰ试题）设ｆ（ｘ）在［０，１］上具有二阶导数，且满足条件ｆ（ｘ）≤ａ，ｆ″（ｘ）≤ｂ，其中ａ，ｂ都是非负常数，ｃ是（０，１）内任意一点．（１）写出ｆ（ｘ）在点ｘ＝ｃ处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（２）证明ｆ′（ｘ）≤２ａ＋ｂ２．６１第七节微分中值定理１．罗尔定理：若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝０．２．拉格朗日中值定理：若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，（ａ，ｂ）内可导，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ（ａ＜ξ＜ｂ），使等式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）成立．３．柯西中值定理：若函数ｆ（ｘ）及Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，（ａ，ｂ）内可导，且对任一ｘ∈（ａ，ｂ），Ｆ′（ｘ）≠０，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ（ａ＜ξ＜ｂ），使等式ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）Ｆ′（ξ）成立．１（１９９５年卷Ⅰ...
