２２１第九章常微分方程１．一阶常微分方程２．高阶线性微分方程３．与变限积分有关的综合题４．微分方程的应用第一节一阶常微分方程题型Ⅰ：可分离变量的微分方程可分离变量的一阶微分方程的解法：将方程写成ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｔ）ｄｔ的形式，通过对等式两端积分来求解．题型Ⅱ：一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程的求解公式：一阶非齐次线性微分方程ｙ′＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）的通解为ｙ＝ｅ－∫ｐ（ｘ）ｄｘ∫ｑ（ｘ）ｅ∫ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋Ｃæèçöø÷，其中Ｃ为任意常数．２２２１（１９９２年卷Ⅰ试题）微分方程ｙ′＋ｙｔａｎｘ＝ｃｏｓｘ的通解为ｙ＝．２２３２（１９９０年卷Ⅱ试题）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．２２４题型Ⅲ：齐次方程与伯努利方程１．齐次方程ｄｙｄｘ＝φｙｘæèççöø÷÷的解法：作变换ｕ＝ｙｘ，则ｙ＝ｕｘ，ｄｙｄｘ＝ｘｄｕｄｘ＋ｕ．于是原方程可化为ｘｄｕｄｘ＝φ（ｕ）－ｕ．用分离变量法求解后，代回ｕ＝ｙｘ并解出ｙ即可．２．伯努利方程ｄｙｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）ｙｎ（ｎ≠０，１）的解法：原方程两端同时除以ｙｎ可得，ｙ－ｎｄｙｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ１－ｎ＝Ｑ（ｘ）．令ｚ＝ｙ１－ｎ，则ｄｚｄｘ＝（１－ｎ）ｙ－ｎｄｙｄｘ．于是原方程可化为ｄｚｄｘ＋（１－ｎ）Ｐ（ｘ）ｚ＝（１－ｎ）Ｑ（ｘ）．解该一阶线性微分方程，并用ｙ１－ｎ代回ｚ便可得原方程的解．２２５３（１９９３年卷Ⅰ试题）求微分方程ｘ２ｙ′＋ｘｙ＝ｙ２满足初始条件ｙ（１）＝１...
