３５７第四章随机变量的数字特征１．一维随机变量及其函数的数字特征２．多维随机变量及其函数的数字特征第一节一维随机变量及其函数的数字特征１．期望与方差的概念（１）离散型随机变量的期望：设离散型随机变量Ｘ的分布律为Ｐ｛Ｘ＝ｘｋ｝＝ｐｋ，ｋ＝１，２，…．若级数∞ｋ＝１ｘｋｐｋ绝对收敛，则称级数∞ｋ＝１ｘｋｐｋ的和为随机变量Ｘ的数学期望，记为Ｅ（Ｘ）．若Ｐ｛Ｘ＝ｘｋ｝＝ｐｋ，Ｙ＝ｇ（Ｘ），则Ｅ（Ｙ）＝∞ｋ＝１ｇ（ｘｋ）ｐｋ．（２）连续型随机变量的期望：设连续型随机变量Ｘ的概率密度为ｆ（ｘ），若积分∫＋∞－∞ｘｆ（ｘ）ｄｘ绝对收敛，则称积分∫＋∞－∞ｘｆ（ｘ）ｄｘ的值为随机变量Ｘ的数学期望，记为Ｅ（Ｘ）．（３）随机变量的函数的数学期望：设Ｙ是随机变量Ｘ的函数：Ｙ＝ｇ（Ｘ）（ｇ是连续函数）．（ⅰ）Ｘ是离散型随机变量，它的分布律为Ｐ｛Ｘ＝ｘｋ｝＝ｐｋ，ｋ＝１，２，…．若∞ｋ＝１ｇ（ｘｋ）ｐｋ绝对收敛，则３５８Ｅ（Ｙ）＝Ｅ［ｇ（Ｘ）］＝∞ｋ＝１ｇ（ｘｋ）ｐｋ．（ⅱ）Ｘ是连续型随机变量，它的概率密度为ｆ（ｘ）．若∫＋∞－∞ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ绝对收敛，则Ｅ（Ｙ）＝Ｅ［ｇ（Ｘ）］＝∫＋∞－∞ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（４）方差：设Ｘ是一个随机变量，若Ｅ｛［Ｘ－Ｅ（Ｘ）］２｝存在，则称Ｅ｛［Ｘ－Ｅ（Ｘ）］２｝为Ｘ的方差，记为Ｄ（Ｘ）或Ｖａｒ（Ｘ），即Ｄ（Ｘ）＝Ｖａｒ（Ｘ）＝Ｅ｛［Ｘ－Ｅ（Ｘ）］２｝．记σ（Ｘ）＝Ｄ（Ｘ），称为标准差或均方差．方差可如下计算：Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－［Ｅ（Ｘ）］２．２．期望的性质（１）若Ｃ是常数，则Ｅ（Ｃ）＝Ｃ．（２）若Ｘ是一个随机变量，Ｃ是常数，则Ｅ（ＣＸ）＝ＣＥ（Ｘ）．（３）设Ｘ，Ｙ是两个随机变量，则Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）．该性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况．（４）设Ｘ，Ｙ是相互独立的随机变量，则Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）．该性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况．３．方差的性质（１）若Ｃ是常数，则Ｄ（Ｃ）＝０．（２）若Ｘ是一个随机变量，Ｃ是常数，则Ｄ（ＣＸ）＝Ｃ２Ｄ（Ｘ），Ｄ（Ｘ＋Ｃ）＝Ｄ（Ｘ）．（３）设Ｘ，Ｙ是两个随机...
