２９３第六章二次型１．二次型的标准形２．正定矩阵３．合同与相似第一节二次型的标准形１．二次型的定义：含有ｎ个变量ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的二次齐次函数ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ａ１１ｘ２１＋ａ２２ｘ２２＋…＋ａｎｎｘ２ｎ＋２ａ１２ｘ１ｘ２＋２ａ１３ｘ１ｘ３＋…＋２ａｎ－１，ｎｘｎ－１ｘｎ称为二次型，其可以表示为ｆ＝ｘＴＡｘ，其中Ａ＝ａ１１ａ１２…ａ１ｎａ２１ａ２２…ａ２ｎ︙︙︙ａｎ１ａｎ２…ａｎｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷，ｘ＝ｘ１ｘ２︙ｘｎæèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷．Ａ为对称矩阵．一个二次型对应着一个对称矩阵．若ｆ＝ｘＴＡｘ，则称Ａ为二次型ｆ对应的矩阵．２．二次型的标准形：若存在可逆线性变换，使二次型只含平方项，则这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形．３．二次型的规范形：若二次型的标准形的系数只能取１，－１或０，则该标准形称为规范形．２９４二次型的标准形不唯一，在不计排列次序的意义下，二次型的规范形唯一．利用正交变换ｘ＝Ｐｙ将二次型ｘＴＡｘ化为标准形与利用正交矩阵Ｐ把实对称矩阵Ａ化为对角矩阵本质上是一致的．此时，矩阵Ａ既相似于对角矩阵，又合同于对角矩阵，二次型的标准形的系数为Ａ的特征值．１．将实对称矩阵Ａ正交相似对角化的一般步骤①求Ａ的特征值，即计算λＥ－Ａ的零点．②求Ａ的特征向量，即计算（λＥ－Ａ）ｘ＝０的基础解系．③将所得特征向量单位正交化，必要时可进行施密特（Ｓｃｈｍｉｄｔ）正交化．一种可能需要进行施密特正交化的情况：特征值有重根．④构造正交矩阵Ｐ＝（α１，α２，…，αｎ），则Ｐ－１ＡＰ为对角矩阵，αｉ为属于第ｉ个主对角元的特征向量．２．求二次型的正、负惯性指数的两种常用方法（１）特征值法计算二次型对应的实对称矩阵的特征值，正特征值的个数为正惯性指数，负特征值的个数为负惯性指数．（２）配方法情形１：二次型含平方项．若二次型中含有某变量的平方，则先集中处理含该变量的项，对含该变量的项配方，直至全部配成完全平方，再利用同样的方法处理含其它变量的项．２９５例如：ｆ＝ｘ２１＋２ｘ２２＋６ｘ２３＋２ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３可如下配方：ｆ＝（ｘ１...
